条件付きの連立不等式の解
お世話になっております。
高校数学Iからの質問です。
二つの不等式
2x^2-9x-11＞0 …(1)
x^2-(a^2-a+2)x+2a^2-2a≦0 …(2)
を同時に満たす実数xに整数が一つも含まれない定数aを求めたいのですが、、、
(以下自分解)
(1)の解はx＜-1,11/2＜x であり、(2)は左辺を因数分解して、
(x-2){x-(a^2-a)}≦0 …(2)'
(i) (2)'について、a^2-a=2、つまり、a=-1,2 のとき、(2)'は、(x-2)^2≦0 となり、この解はx=2 となるが、(1)との共通部分はない。
(ii) a^2-a＞2 ∴ a＜-1,2＜a のとき、(1)(2)の共通部分は11/2＜x≦a^2-a であり、これに整数が含まれないようなaの範囲は a^2-a＜6 及び前提条件より -2＜a＜-1,2＜a＜3。
(iii) -1＜a＜2 のとき、(1)(2)の共通部分は
a^2-a≦x＜-1 となり、-2＜a^2-a であれば整数は含まれない。
ただし、a^2-a+2＞0 がすべての実数aに対して成立つから、-1＜a＜2 であれば十分。
以上より、題意を満たすようなaの値は
-2＜a＜-1、-1＜a＜2、2＜a＜3 。
としたのですが、解答は
-2＜a＜3 でした(泣)。
なぜa=-1,2 も解に含まれるのでしょうか。私的には「共通部分が存在し、その上で共通部分に整数が含まれないこと」を方針としたのですが、単に「整数が含まていない」というだけでＯＫということになるのでしょうか？この辺り、やや曖昧で類題には気をつけたいと思っていますが、基本方針を教えていただけると有り難いです。
宜しくお願い致します。
お礼
質問する場所を間違えていたのですがご回答ありがとうございます。 そういう定理があったのですね。よくわかりました、