ラグランジュの方程式

質問

変分を使ってラグランジュ方程式を導く方法についてお聞きしたいことがあります．

1次元運動の物理量F(x,x',t)を変分δIは，Δx/xの2次の項以上は非常に小さいとして無視すると，
δI=δ∫[t1→t2] F(x,x',t)dt
=∫[t1→t2] {F(x+Δx,x'+Δx',t)-F(x,x',t)}dt
=∫[t1→t2] {(∂F/∂x)Δx+(∂F/∂x')Δx'}dt
↑は参考書に書いてあることなのですが，式の2行目から3行目への展開はテイラー展開なのでしょうか？でもテイラー展開と考えると「Δx/xの2次の項以上は非常に小さいとして無視すると」という記述がよくわかりません．

あと，記号にはΔを使っていますがδでもΔでもどちらでもいいのでしょうか？

おねがいします．

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

２次の微小量が無視できるというのは，Δｘが絶対的に
小さいからではなく，ｘと比べて小さいのが条件です。

Δは単に変化。今の場合積分経路の小さなずれを意味して
います。一方δはそのずれによる作用Ｉの変分を表して
いると思います。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

noname#66248

∫[t1→t2] {F(x+Δx,x'+Δx',t)-F(x,x',t)}dt
=∫[t1→t2] {F(x+Δx,x'+Δx',t)-F(x,x'+Δx',t)+F(x,x'+Δx',t)-F(x,x',t)}dt
=∫[t1→t2] [{∂F(x,x'+Δx',t)/∂x}Δx+{∂F(x,x',t)/∂x'}Δx']dt
=∫[t1→t2] [{∂F(x,x',t)/∂x+(∂^2F(x,x',t)/∂x'∂x)Δx'}Δx+{∂F(x,x',t)/∂x'}Δx']dt
(ここで、Δx'・Δxの2次の微分の項を省略して)
=∫[t1→t2] {(∂F/∂x)Δx+(∂F/∂x')Δx'}dt

お礼

ありがとうございました！