積分方程式・・・

質問

「次の等式を満たす２次の整数f(x)を求めよ　　　x∫ｆ（ｔ）dt (定積分の区間は下端1、上端x)=f(x)+3x^4-4x^3-9 」という問題の解説で「この問いの積分方程式において両辺をxで微分すると(左辺では積の微分公式を用いる) ∫f(t)dt (定積分の区間は下端1、上端x)+xf(x)=f'(x)+12x^3-12x^2となり・・」とあったのですがどうして「∫f(t)dt (定積分の区間は下端1、上端x)+xf(x)　　=f'(x)+12x^3-12x^2」となるのかわかりません・・　教えてください！！

回答No.6

i536 · ベストアンサー

>？？「{(x)*(∫f(t)dt )}' 」は*でつながっているのに
>どうして「(x)'*(∫f(t)dt ) + (x)*(∫f(t)dt )' 」とわけてできるのでしょうか？？　　

No.2のoshiete_gooさんの回答にあります、2つの関数の積の微分公式を単に適用しただけです。
では、f(x)とg(x)の積z(x)=f(x)*g(x)を微分してこの公式を導き出します（教科書に必ず載っています）。
なお、関数の積×を*で表しています。

z(x)'
=(f(x)*g(x))'
=lim (z(x+dx)-z(x))/dx
=lim (f(x+dx)*g(x+dx)-f(x)*g(x))/dx
=lim(f(x+dx)*g(x+dx)-f(x+dx)*g(x)+f(x+dx)*g(x)-f(x)*g(x))/dx ---微分できるように項(-f(x+dx)*g(x) +f(x+dx)*g(x)=0)を挿入します
=lim(f(x+dx)*g(x+dx)-f(x+dx)*g(x))/dx + lim(f(x+dx)*g(x)-f(x)*g(x))/dx---lim を分配しました。
=lim(f(x+dx))*(lim(g(x+dx)-g(x))/dx) + (lim(f(x+dx)-f(x))/dx)*(g(x))---共通因数f(x+dx)、g(x)で括りました。
=f(x)*(g(x))' + (f(x))'*g(x)
=f'*g + f*g'

よって、下記の積の微分公式が得られます。
(f(x)*g(x))'＝f(x)'*g (x)+ f(x)*g(x)'.

ここで、f(x)=x, g(x)=∫f(t)dtと置いて、
f(x)*g(x)==x*∫f(t)dtを上記積の微分公式どおりに微分する
ご質問の回答となります。

回答No.7

noname#181872

> どうしてもxで微分すると、xが1、{F(x)-F(1)}がf'(x)となりx{F(x)-F(1)がただのf'(x)になる気がするのですが・・

もしもこれが正しかったとすると、以下のことが言えることになります。

f(x)=ax^n（aかけるxのn乗）の導関数f'(x)=aである。

つまりf(x)=a×x×…×xだからxを微分したら1。
よってf'(x)=a×1×…×1=a

ってなりませんか？これがおかしいのはわかりますよね。

つまり積の形になっている関数の微分はみなさんが
おっしゃっているように違うやり方をしなければならないのです。

回答No.5

fushigichan

bell-bellさん、こんにちは。
＞とあったのですがどうして「∫f(t)dt (定積分の区間は下端1、上端x)+xf(x)　　=f'(x)+12x^3-12x^2」となるのかわかりません・・　

左辺＝x*∫f(t)dtを微分すると
=x'*∫f(t)dt+x*{∫f(t)dt}'
となるのですが、これが何故か？ということですね。

-------------------------------------------------------
公式
ｘの方程式ｆ、ｇについて、ｆとｇの積の関数ｆ＊ｇを微分するとき
(f*g)'=f'g+f*g'
--------------------------------------------------------

というのを思い出してくださいね。
左辺の、x∫ｆ（ｔ）dt (定積分の区間は下端1、上端x）という関数は
xという関数と、∫ｆ（ｔ）dt (定積分の区間は下端1、上端x）という関数の積のカタチになっています。
そこで、それを微分すると、
ｘの微分に∫ｆ（ｔ）dt (定積分の区間は下端1、上端x）をかけたものと、
ｘと、∫ｆ（ｔ）dt (定積分の区間は下端1、上端x）の微分をかけたものの和になります。

そう考えると、もうお分かりだと思いますが、いかかでしょうか？

回答No.4

i536

No.3です、
検討違いは見当違いの間違いでした！

補足

いえいえ！！でも＃3の補足に書いたことがよくわかりません・・

回答No.3

i536

No.1,No2にしたがって左辺の微分を実行してみましょう。
{(x)*(∫f(t)dt )}'
＝(x)'*(∫f(t)dt ) + (x)*(∫f(t)dt )'
＝1*(∫f(t)dt ) + (x)*(f(x))
＝∫f(t)dt + x*f(x)
＝∫f(t)dt + xf(x) --- (正しい左辺の微分)

なお、補足に書かれていたような下記微分は間違っています。
{(x)*(∫f(t)dt )}'＝(x)'*(∫f(t)dt )'＝1*f(x)＝f(x) --- (左辺の微分の間違った例)

検討違いの回答でしたら、お許し願います。

補足

いえいえ！！そのことがしりたかったのです！！でもどうして、「{(x)*(∫f(t)dt )}'
＝(x)'*(∫f(t)dt ) + (x)*(∫f(t)dt )' 」とできるのでしょうか？？「{(x)*(∫f(t)dt )}' 」は*でつながっているのにどうして「(x)'*(∫f(t)dt ) + (x)*(∫f(t)dt )' 」とわけてできるのでしょうか？？

回答No.2

oshiete_goo

さて出たでしょうか．

積の微分法
{u(x)・v(x)}'＝u'・v＋u・v'
で，今の場合
u(x)＝x，v(x)＝∫_{1→x}f(t)dt[＝F(x)－F(1)]
でした．
F'(x)=f(x)，
F(1)は定数より　{F(1)}'=0
なので．．．

補足

#1の補足にも書かせていただいたのですが、どうしてもxで微分すると、xが1、{F(x)-F(1)}がf'(x)となりx{F(x)-F(1)がただのf'(x)になる気がするのですが・・

回答No.1

noname#181872

∫f(t)dt (定積分の区間は下端1、上端x)というものは
f(t)の原始関数をF(t)とおくと（F'(x)=f(x)）、
F(x)-F(1)になりますよね。

よってx∫f(t)dt=x{F(x)-F(1)}ですね。
これをxで微分すると…？ちなみにF(1)は定数ですよね。

補足

>よってx∫f(t)dt=x{F(x)-F(1)}ですね。
これをxで微分すると…？
とあるのですが、どうしてもxで微分すると、xが1、{F(x)-F(1)}がf'(x)となりx{F(x)-F(1)がただのf'(x)になる気がするのですが・・