微分方程式の問題

質問

y=f(x)=√(1-x^2)*sin^-1xの満たす微分方程式をつくり、それを用いてf(x)のテイラー展開を求めよ。
という問題が解りません。（ルートの中身は1-x^2です)

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

＞θ=sin^1xとおき、dy/dxを求めるということは、
y=√(1-x^2)θとなり、dy/dθ=√(1-x^2)
dθ/dx=1/√(1-x^2)
dy/dx=(dy/dθ)*(dθ/dx)として解けばよろしいのでしょうか？

ということですが、ほぼ、そのような、方法で良いと思います。この考え方で行けば、
dx/dθ＝cosθですから、dθ/dx＝1/cosθ
y＝θ・cosθとなり、計算をすると、
(1-x^2)dy/dx＋xy＝1-x^2　・・・（☆）　
が得られます。これは1または-1を確定特異点とするFuchs型の微分方程式です。このような、微分方程式は確定特異点の周辺では普通、級数解法という方法をつかい、確定特異点以外の点ではテーラー展開がつかえます。

とにかく、（☆）の式を導くことが先決問題です。

お礼

なるほど！！わかりました。
理解力が乏しくてすいませんでした(^ _^ !)

回答No.5

endlessriver

＃４です。誤りました。
最後は n>=5 だから
a_n={(n-3)/n}a_(n-2)={(n-3)/n}{(n-5)/(n-2)}...{2/5}a_3 (n>=5).
n=2m+1 (m>=2)とすると（a_3=-1/3をつかって）
a_(2m+1)=-{(2m-2)!!/(2m+1)!!} (m>=2)

すみません。

お礼

詳しく解説していただきありがとうございます(≧▽≦)

回答No.4

endlessriver

＃２の方のようにマクローリン展開で求めると
y=a_0+a_1(x)+a_2(x^2)+a_3(x^3)+a_4(x^4)+...+a_n(x^n)+..
とおきます。y(0)=0より、a_0=0.
（☆）の左辺を計算すると
y'=a_1+2a_2(x)+3a_3(x^2)+4a_4(x^3)+...+na_n(x^(n-1))+..
-x^2・y'= -a_1(x^2)-2a_2(x^3)-...-(n-2)a_(n-2)(x^(n-1))-..
xy= a_1(x^2) +a_2(x^3)+...+a_(n-2)(x^(n-1))+..
これを右辺の(1-x^2)と比較して
a_1=1, a_2=0, a_3=-1/3.
n>=4のとき
na_n - (n-3)a_(n-2)=0
すなわち、nが偶数のときa_n=0. そこで奇数の時
a_n={(n-3)/n}a_(n-2)={(n-3)!!/n!!}a_3 (n>=5).
n=2m+1 (m>=2)とすると
a_(2m+1)=-{(2m-2)!!/(2m+1)!!}/3 (m>=2)
収束性は判定条件を使えると思います。多分。

回答No.2

oyaoya65

＞微分方程式をつくり、
「微分を求め、」ではないですか？

テーラー展開は次のURLにあるように
x=aの周りの展開になりますが質問では指定されていませんね。

http://mailsrv.nara-edu.ac.jp/~asait/c_program/sample0/taylor_note.htm

x=0とした場合はマクローリン展開といいます。
http://yosshy.sansu.org/maclaurin.htm

多分質問はマクローリン展開を求める問題かと思いますがどうでしょうか？
f(x)=Σ[n=1->∞]f(n)(0)(x^n)/n!

以下のように(x^n)の係数を求めます。

f'(x)=1-x*(sin-1x)/√(1-x^2)
f'(0)=1
f"(x)= ...
f"(0)=0
f(3)(x)=...
f(3)(0)=-2
f(3)(0)/3!=-1/3
f(5)(x)=...
f(5)(0)=-16
f(5)(0)/5!=-2/15
...

n階微分f(n)(x)を求めるのは困難ですね。
nと共に項数がどんどん増加します。

f(2m)(0)=0　(mは自然数)となります。
f(2m-1)(0)＜0ですね。

数学ソフトMathematicaを使えば次のようにマクローリン展開できます。

f(x)=Σf(n)(0)(x^n)/n!
=x-(x^3)/3 -2(x^5)/15 -8(x^7)/105 -16(x^9)/315-128(x^11)/3465-256(x^13)/9009-...

大学生なら大学でライセンスが導入されていてMathematicaやMapleなどの数学ソフトが無料で使える場合が多いですね。
（大学生協などでスチューデント版Mathematicaのソフトが3万円強で購入できるかと思います。）

お礼

問題に間違いはないはずです。
頑張って解いてみます。

回答No.1

ojisan7

考え方だけ。
θ＝sin^-1x
とおき、dy/dxを求めます。
ここからは、単純に計算するだけだと思います。
(1-x^2)dy/dx＋xy＝1-x^2
となるでしょうか。
ここまで、できれば、f(x)のテイラー展開（マクロリーン展開）を求めるのはたやすいことです。

補足

θ=sin^1xとおき、dy/dxを求めるということは、
y=√(1-x^2)θとなり、
dy/dθ=√(1-x^2)
dθ/dx=1/√(1-x^2)
dy/dx=(dy/dθ)*(dθ/dx)として解けばよろしいのでしょうか？