一変数テイラー展開の問題がわかりません。

質問

見ていただきありがとうございます。

問題は次です。
f（x）＝sinhx　（但し、sinht＝{e^t-e^(-t)}/2とする。）

(1)f(x)のx=1におけるテイラー展開を最初の0でない３項まで求めよ。
計算した結果は次です。

(2)f(x)のx=1におけるテイラー展開を一般の次数まで（n次）求めよ。
sinhx={e-e^(-1)}/2+{(e＋e^(-1))/2}×(x-1)+{(e-e^(-1))}/4}×(x-1)^2+（余剰項）

一般項なんですが求めてみたのが次です。
(1/n!)×{〈e+(-1)^n〉e^(-1)}/2となりました。

あっているかわからないので確認よろしくおねがいします。
もし間違っていたなら、回答よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(x-1)~n に掛かる係数は、
(1/n!)｛e+((-1)~n)e~(-1)｝/2
ですね。
＜ … ＞ という括弧の括くる範囲が、
ズレているようです。

展開の計算は、e~z のマクローリン展開に
z = x-1 と z = -(x-1) を代入して、
それぞれ少し整理すれば、
e~x と e~(-x) の x = 1 でのテイラー展開が
得られますから、それらを平均すればよい。

回答No.1

info22_

(1)合っていますが次のようにも書けます。
sinh(x)=sinh(1)+cosh(1)*(x-1)+(sinh(1)*(x-1)^2)/2+(余剰項)

(2)
一般項は
>一般項なんですが求めてみたのが次です。
>(1/n!)×{〈e+(-1)^n〉e^(-1)}/2となりました。
括弧の位置と符号が変（間違い）。
{1/(2*n!)}[{e-<(-1)^n>e^(-1)}](x-1)^n
(n=0,1,2,...)

奇数次項=(cosh(1)/n!)(x-1)^n
偶数次項=(sinh(1)/n!)(x-1)^n
ですね。