2階の微分方程式

質問

こんにちは。現在、微分方程式に取り組んでいます。
おそらくとても単純な所で詰まってしまって、困っています。よろしくお願いします。

式(1)　G=dx/dt=py-ax+i
式(2)　F=dy/dt=qx-by+j　　　を使って
（１）G=F=0の時、x0、y0を求める
（２）n=x-x0,m=y-y0とし、n(t),m(t)それぞれに対する2階微分方程式を求めよ
という問題です。

（１）は連立方程式を解いて
x=(bi+pj)/(ab-pq)　　y=(aj+qi)/(ab-pq)
までは出せたのですが、これらをそれぞれx0,y0と考えてしまってよいのでしょうか？

「x,yの2階の微分方程式にする」ようなヒントがあったのですが、そのヒントでかえって混乱しています。

（２）はx0、y0で詰まってしまったので。。。止まっています。

すみませんが、よろしくお願いします。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

#1 です。

解くのならラプラス変換、という気もしますが、ともかく問題の指示を遵守してみます。

>式(1)　G=dx/dt=py-ax+i
>式(2)　F=dy/dt=qx-by+j

(A) G=F=0のとき、x0, y0を求める
　　py-ax+i = 0
　　qx-by+j = 0
の解を x0, y0 とする。D = ab-pq として、
　　x0 = (b*i+p*j)/D
　　y0 = (q*i+a*j)/D

(B) n=x-x0,m=y-y0とし、n(t), m(t) それぞれに対する2階微分方程式を求めよ
　(A) の結果を式(1), (2) へ代入。
　　n' = py-ax+i = pm-an　　→　pm = n'+an
　　m' = qx-by+j = qn-bm　　→　qn = m'+bm
したがって、
　　n" = pm'-an' = p(qn-bm)-an' = pqn-b(n'+an)-an' = (pq-ab)n-(a+b)n'
　　m" = qn'-bm' = q(pm-an)-bm' = qpm-a(m'+bm)-bm' = (pq-ab)m-(a+b)m'

最初に作っていた式も、整理すると同じものです。

お礼

2回もの回答、ありがとうございます。
自分の理解力が乏しく・自信もないせいで、178tallさんの最初の回答をきちんと理解しているのか不安だったのですが、
今回整理していただき、すっきり理解できました。

ありがとうございました！

回答No.3

Mr_Holland

この微分方程式は、係数は複雑ですが、所詮は定数係数の線形2階微分方程式です。そのため、特性方程式を利用することができ、一般解を容易に得ることができます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E5.AE.9A.E6.95.B0.E4.BF.82.E6.95.B0.E3.81.AE.E6.96.89.E6.AC.A1.E5.B8.B8.E5.BE.AE.E5.88.86.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F.E3.81.AE.E8.A7.A3.E6.B3.95

　n=x-x0,m=y-y0と変数変換をするのは、初期値を０にするための計算上の工夫だと思います。
　問題では、おそらく特性方程式ではなく、階数を1階下げてから同次形に持ち込んだり、ラプラス変換で解いたり、と他の方法でとくように思われます。その際、初期値が０だと計算の手間が多少省けます。

　それにしても、この方程式を手計算で解くというのは、根気の要るものだと思います。係数がちょっと複雑ですから。

　それと、ちょっと思い出しましたが、a,b,p,qは必ず正が保証されていますか？
　(a-b)^2+4pq＞０であれば、＃２さんの答えを使えばよいと思いますが、(a-b)^2+4pq＝０なら、t・exp(αt) (αは定数)という項が出てきますし、(a-b)^2+4pq＜０　なら、指数関数と三角関数の積の項が出てきますので注意してください。

お礼

御礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
6時という早朝に、ありがとうございました。
おそらく5時半頃から回答を打ち込んでおられたのかと・・・。
＞一般解を用意に得ることができます。
この文で「もしかしたら、もう一頑張りなのかな？」と、くじけそうな気持ちを持ち直せました！

補足

＞それと、ちょっと思い出しましたが、a,b,p,qは必ず正が保証されていますか？

a,b,p,q,i,j＞0　と定められていました。
見落とし書き忘れてしまっていました。すみません。
大事なところを指摘していただきありがとうございます。

回答No.2

inara

連立微分方程式
　　　dx/dt = p*y - a*x + i
　　　dy/dt = q*x - b*y + j
の、p, q, a, b, i, j は全部定数（ t に依存しない）ですね？

この微分方程式は一見簡単ですが、数式処理ソフト（Maple）で解いてみたところ、以下のような複雑な解が得られました（C1、C2 は積分定数）。

　　　x(t) = ( C1 + C2 )*exp[ -t/2*[ a + b + √{ ( a - b )^2 + 4*p*q } ] ] + ( b*i + p*j )/( a*b - p*q ) --- (1)
　　　y(t) = C1*{ a - b + √{ ( a- b )^2 +4*p*q } /( 2*p )**exp[ -t/2*[ a + b - √{ ( a - b )^2 + 4*p*q } ] + C2*[ a - b -( a*b - p*q )*√{ ( a- b )^2 +4*p*q } ]*/{ 2*p*( a*b - p*q ) }*exp[ -t/2*[ a + b + √{ ( a - b )^2 + 4*p*q } ] + ( a*j + q*i )/( a*b - p*q ) --- (2)

「 G = F = 0 の時 」 というのは、dx/dt = dy/dt = 0 のことなので、x も y も定数という意味でしょう。上式で x も y も定数となるのは、C1 = C2 = 0 のときです。このとき、x = ( b*i + p*j )/( a*b - p*q )、y = ( a*j + q*i )/( a*b - p*q ) となりますから、tribal24さんの計算結果と一致します。

しかしその次の問題で、「 n = x - x0、m = y - y0 」 としたとろこで、式(1), (2) から定数項がなくなるだけで、解の複雑さはあまり変わりません。問題文は「x(t) と y(t) を求めよ」 というわけではないようですが、「 n = x - x0、m = y - y0 」 とすることによって、n と m に関する2階微分方程式が簡単になるのでしょうかね。ちょっと、解の糸口が見つかりません・・・

お礼

御礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
素早い回答ありがとうございます！
数式処理ソフトの解は見るだけでくらくらしてしまいますね。。。
導き出せるのかちょっと不安ですが、xに関してはややすっきりしているので、その形を目指してみます！

回答No.1

noname#101087

>式(1)　G=dx/dt=py-ax+i
>式(2)　F=dy/dt=qx-by+j
>を使って ........「x,yの2階の微分方程式にする」

腕力行使しか思いつきません。

例えば式(1)を微分して、
　d^2x/dt^2 = p*dy/dt - a*dx/dt
ふたたび式(1)から
　y = (dx/dt+ax-i)/p
あとは式(2) を使い
　d^2x/dt^2 = p*dy/dt - a*dx/dt = p*(qx-by+j) - a*dx/dt = p*qx - b*(dx/dt +ax-i) + pj - a*dx/dt
として dy/dt をなくせます。

吟味してください。

お礼

素早い回答ありがとうございます！
御礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。