拡散方程式について

質問

一次元の拡散方程式∂P/∂t=D∂^2P/∂x^2で初期条件がP(x,0)=δ(x)のとき、方程式の解はP(x,t)=1/√４πDtexp(-x^2/4Dt)で与えられ、これは分散が2Dtであるようなガウス分布である。「この確率分布に関する物理量Xの平均を<X>=∫∞～-∞　XP(x,t)dxとすると、<x>=0,<x^2>=2Dtとなる」ようなのですが、「」の部分が理解出来きません。どなたか教えてください。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

<x>=0　は奇関数の-∞～∞の積分ですので"0"になります。
ちなみに不定積分を求めることもできますのでその方向から計算することも可能。
y=-x^2/(4Dt)　とおき置換積分すればよいのです。この場合、x<0と0≦xで分けて計算する必要があります。

<x^2>=2Dt は部分積分を用いてガウス積分に変形します。
ここで{exp(-x^2/(4Dt))}'=-x/(2Dt)*exp(-x^2/(4Dt))であることから
x^2*exp(-x^2/(4Dt))=(-2Dt)x*{exp(-x^2/(4Dt))}'
と変形しておけば部分積分できます。

お礼

すばやい回答ありがとうございました。