微分方程式に関連する問題

質問

微分方程式の問題で分からないものがあります。
出題場面が、「テイラー展開およびマクローリン展開を
利用する練習問題」ということなので、テイラー展開を方針にした
解答を作りたいのですが・・・。以下のようなものです。

「次の微分方程式を解き、関数f(x)を図示せよ。(A＞0)」
　∂f(x)/∂x ＝　－Axf(x)
　一応、「Aかけるf(x)」ではなく 「Aかけるxかけるf(x)」です。
偏微分の形をしていますがまぁdy/dxの場合でも方針が分かりません。

（少しやってみたのですが、e(ネピア数)の指数に π(パイ)/2　のようなものがでてきたりして、テイラー展開の公式に当てはめた時、
１項おきに０になったりしたのですが・・・。ただの混乱かもしれません）

詳しいかたおられましたら、よろしくお願いいたします。
（図示せよという問題をこういう場で聞くのも申し訳ないので、省略ということでも・・・。欲張ると、概形を軽く聞きたいです・・・。
　自分なりに描いた感じでは、　x＝0を中心に山なりになるグラフと、それをx軸対称で描いたものとの２通りに場合わけができたのですが。まったく自信がないです。）

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

df(x)/dx ＝　－Axf(x) は変数分離型なのでy=f(x)とおくと
dy/y=-Axdx
log(y)=-Ax^2/2+c
∴y=c・exp(-Ax^2/2)
QED