一変数テイラー展開の一般項

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f(x)=log(x+√(1+x^2))とするとき、x=0におけるテイラー展開をしました。f(x)を微分していくと
f'(x)=1/(x^2+1)^(1/2)
f''(x)=-x/(x^2+1)^(3/2)
f'''(x)=(2x^2-1)/(x^2+1)^(5/2)
f''''(x)=-3(2x^3+3x)/(x^2+1)^(7/2)
f'''''(x)=3(8x^4-24x^2+3)/(x^2+1)^(9/2)
f''''''(x)=-15x(8x^4-40^2+15)/(x^2+1)^(11/2)
f'''''''(x)=45(16x^6-120x^4+90x^2-5)/(x^2+1)^(13/2)

となりました。これをマクローリン展開の公式に代入すると
f(x)=x-(x^3)/6+(3x^5)/40-(5x^7)/112…剰余項
となりました。

一般項を求めたいのですが、
f'(x)=1/(x^2+1)^(1/2)のときx^2=tと置き、
g(t)=(t+1)^(-1/2)としました。
g(t)についてn回微分し
g（n回微分）(t)＝(‐1)^n*(((2n-1)!!)/2^n)*(1+t)^-((2n-1)/2)
となりました。

g(t)についてt=0の時テイラー展開したところ
g(t)＝1-t/2+3t^2/8-5t^3/16+…+((‐1)^n*(((2n-1)!!)/2^n))/n!+Rt
となりました。
f'(x)=g(x^2)なのでg(t)のテイラー近似にx^2を代入したものがf'(x)のテイラー近似になることはわかりました。

しかしf(x)とf'(x)のテイラー近似は
数式的にはf(x)=∫f'(x)dxになると思いますが、
それには証明が必要になると言われました。また、gとfの関係をはっきりさせ、g(t)のテイラー展開からf'(x)のテイラー展開を求め、
それがf'(x)のテイラー展開と一致することからf'(0)、f''(0)…をもとめ、それを用いてf(x)のテイラー展開を書けばよいらしいのですが、
どのようなステップを踏めば良いか分かりません。
お力をお貸しください。

回答No.1

info222_

求め方
log(x+√(1+x^2) )=arcsinh(x)なので
arcsinh(x)のマクローリン展開を求めれば良いでしょう。
arcsinh(x)=Σ[n=0, ∞] {((-1)^n)(2n-1)!!/((2n)!!・(2n+1))} x^(2n+1)　（収束範囲　-1≦x≦∞）
となります。

あるいは
{log(x+√(1+x^2) )}' ={arcsinh(x)}' =1/√(1+x^2)=g(x) なので
1/√(1+x^2) のマクローリン展開を求めて、それをx=0～xまで積分して求める方法もあります。
　f(x)=log(x+√(1+x^2) )=∫[0, ∞] g(t) dt
g(x)=1/√(1+x^2) のマクローリン展開は
g(x)=Σ[n=0, ∞] {((-1)^n)(2n-1)!!/(2n)!!} x^(2n)　（収束範囲　-1≦x≦1）
このg(x)の展開は　h(x)=1/√(1+x) のマクローリン展開を求めて　ｘをx^2で置き換えれば
求められます。
　h(x)=(1+x)^(-1/2)=Σ[n=0, ∞] {((-1)^n)(2n-1)!!/(2n)!!} x^(n)　（収束範囲　-1≦x≦1）

ここで
　(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)(2n-5)・,,, ・5・3・1
　(2n)!!=2n・(2n-2)・(2n-4)・ ... ・6・4・2
　1!!=0!!=(-1)!!=1
です。