ラグランジュ方程式について

質問

L(ｘ、ｙ)=L'(x,y)＋df(x,t)/dt
=L'(x,y)+∇f・x∂f/∂t

このときにLが与える微分方程式とL''が与える微分方程式が同じであることを証明しなさい

意味がわからないのでお願いします

板書をそのまま写したのですが不明な点があったら質問してください

回答No.1

yokkun831

ラグランジアンL(x~,x'~)は，次の形の付加項について任意性がありますよ，ということです。※　x~　はベクトル。x'~ はその時間微分　

df(x~,t)/dt = Σ(∂f/∂xi・dxi/dt) + ∂f/∂t = ∇f・x'~ + ∂f/∂t

つまり，ラグランジュ方程式を立てたときにL'とL=L'+df/dtとが同じ方程式を与えることになるのです。　　※　L'は微分ではない

このことは，作用が
S = ∫Ldt = ∫L'dt + ∫df/dt・dt = S' + f(2) - f(1)
　　※ 積分は経路t1～t2にわたる。
　　　　f(1),f(2)はその経路の固定した両端におけるf(x~,t)の値。
と書けて，f(2)-f(1)は変分をとる際に消えてなくなることから明らかです。