線形化 状態方程式

質問

非線形システムdx/dt=f(x,u),
f(x,u)=(2・x1・x2＋u ,x1+x2^2)T x=(x1,x2)T
テーラー展開一次近似により、平衡点(x',u'), x'=(x1',x2')T
に関して局所線形化したX=x-x',U=u-u'に関する状態方程式
dX/dt=AX+BUを求めよ。

上記の問題で平衡点をx0=(-1,1)T u0=2としてその近傍でテーラー展開しようとしたのですが、AとBの計算の仕方がわかりません。
お手数ですが、教えていただけないでしょうか？

似たような問題があるサイトがあれば教えてください

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

x がベクトルで、u がスカラーなんですね。
ややこしいですね。
f(x,u) の成分を、
　y1 = 2・x1・x2 + u,
　y2 = x1 + (x2)^2.
と置いて、スカラーの計算に統一してみましょう。

y1, y2 のそれぞれを、(x1', x2', u') において一次テーラー近似して、
　y1 = y1' + (∂y1/∂x1)(x1 - x1') + (∂y1/∂x2)(x2 - x2') + (∂y1/∂u)(u - u')
　　= 0 + (2・x2') X1 + (2・x1') X2 + 1・U,
　y2 = y2' + (∂y2/∂x1)(x1 - x1') + (∂y2/∂x2)(x2 - x2') + (∂y2/∂u)(u - u')
　　= 0 + 1・X1 + (2・x2') X2 + 0・U.

これを f(x,u) = (y1,y2)T と睨み合わせて、
Ａは４×４行列
　2・x2'　　　　2・x1'
　1　　　　　　2・x2'
Ｂはベクトル
　(1,0)T
です。

ところで、平衡点は、(-1, 1, 2) だけでなく、
任意の (-(u/2)^(2/3), (u/2)^(1/3), u) ですよ。

補足

この平衡点はf(x,u)=0のときの値ですよね？x1,x2,uと変数が３つあるのにどうやって出すのですか？教えてください