複素平面の三角形の合同条件を行列式を用いて表したい

質問

お世話になります。
複素数α1,β1,γ1 と，複素数α2,β2,γ2 で表わされる三角形が正の向きに相似（裏返しは除く）であるための必要十分条件は，行列式を用いた次式で表わされます．

|1 α1 α2|
|1 β1 β2|＝0
|1 γ1 γ2|

これは、行列式が0ということは縦ベクトルが線型従属なので、複素数z1,z2を用いて、
(α1,β1,γ1)=z1(α2,β2,γ2)+z2(1,1,1)
と同値なので、三角形(α2,β2,γ2)を回転・拡大し、平行移動したものが、三角形(α1,β1,γ1)になることを意味しているので、理解できます。

次に、複素数α1,β1,γ1 と，複素数α2,β2,γ2 で表わされる三角形が正の向きに合同（裏返しは除く）であるための必要十分条件を，行列式（もしくは簡単な等式）を用いて表したいのですが、いい方法がありましたらどうか教えてください。

参考http://hooktail.maxwell.jp/kagi/c153866f077ba1434fc247c174ae690f.html

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

こんばんは。
#2です。
いろいろ訂正します。すみません。
◎「行列式=0」は２つで必要十分です。

・・・・・途中略・・・
・・・・
逆に(3)のとき、
角B'A'C'=arg(γ2－α2)/(β2－α2)=arg(γ1－α1)/(β1－α1)=角BAC
ゆえに　(1)かつ(2)　⇔　(3)
よって、(γ1－α1)(β2－α2)－(γ2－α2)(β1－α1)＝０が必要十分で
(3)は次と同値　

|1　　 0　　 　 0 |　　　　
|1 β1-α1 β2－α2|＝0　
|1 γ1-α1 γ2－α2|
1列目にα1を掛けて2列目に加え、1列目にα2を掛けて3列目に加えて
⇔
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|＝0　・・・(4)が必要十分。これが（高校や）
|1 γ1 γ2|
「複素関数論」の最初に習うところ。
・・・・・途中略
・・・
◎以下　γ2の複素共役をγ2^(-)などで表すことにする。
　　よって　　△ABCと△A'B'C'が合同
⇔　(γ2－α2)/(γ1－α1)＝(β2－α2)/(β1－α1)・・・(*)
　　かつ　|γ2－α2|=|γ1－α1|　・・・(6)だけでよい。
　（　なぜなら、(*)すなわち(4)は△A'B'C'と△ABCが正の向きに相似と
　を意味し、(6)はA'C'=AC ということで「相似比=1」を意味するから）　

⇔
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|＝0・・・(4)　　
|1 γ1 γ2|　　　　
かつ　例えば|γ2－α2|=|γ1－α1|・・・(6)

・・・・・途中略
・・・・
(6)は|γ2－α2|=|γ1－α1|を平方して
(γ2－α2)(γ2^(-)－α2^(-))=(γ1－α1)(γ1^(-)－α1^(-))・・・(#)
これを「行列式=0の形」にして
|1　　　　　 0 　 　 0 |　　　　
|1 γ2^(-)－α2^(-)　 γ1-α1 |=0
|1 γ1^(-)－α1^(-)　 γ2－α2 |　　　　　
⇔
|1　α1^(-)+α2^(-)　 α1+α2 |　　　　
|1 γ2^(-)+α1^(-)　 γ1+α2 |=0　・・・(7)
|1　γ1^(-)+α2^(-) 　γ2+α1 |
となり、(4)かつ(7)の二つの「行列式=0」
となるが、　(7)はあまりきれいな式ではない。

なお、
(6)を|α2－γ2|=|α1－γ1|とすれば、
|1　 γ1^(-)+γ2^(-)　 γ1+γ2 |　　　　
|1 　α2^(-)+γ1^(-)　 α1+γ2 |=0　・・・(7')
|1　 α1^(-)+γ2^(-) α2+γ1 |
とかける。
◎　ゆえに、求める必要十分条件は
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|＝0・・・(4)　かつ　例えば　
|1 γ1 γ2|

|1　 α1^(-)+α2^(-)　 α1+α2 |　　　　
|1 　γ2^(-)+α1^(-)　 γ1+α2 |=0　・・・(7)
|1　 γ1^(-)+α2^(-) 　γ2+α1 |
などとなります。すみませんでした

お礼

ありがとうございます。
合同というのを、３辺が等しい、つまり、

|α1－β1|=|α2－β2|
|β1－γ1|=|β2－γ2|
|γ1－α1|=|γ2－α2|

とみると、これを対称的にきれいに（できれば一つの式で）まとめるにはどうすればいいでしょうか？

回答No.2

kup3kup3

こんばんは。
>複素数α1,β1,γ1 と，複素数α2,β2,γ2 で表わされる三角形が正の向きに相似（裏返しは除く）

A(α1),B(β1,),C(γ1)とA'(α2),B'(β2),C'(γ2)が相似
複素数平面で、適当な角θと正の数rがあって、
γ2－α2＝re^(iθ)(γ1－α1) ・・・(1)　かつ
β2－α2＝re^(iθ)(β1－α1) ・・・(2) となること。このとき、
(1)÷(2)　→(γ2－α2)/(β2－α2)=(γ1－α1)/(β1－α1)・・・(3)
逆に(3)のとき、角BAC=arg(γ2－α2)/(β2－α2)=arg(γ1－α1)/(β1－α1)=角B'A'C'
よって　(1)かつ(2)　⇔　(3)
よって、(γ1－α1)/(β2－α2)－(γ2－α2)/(β1－α1)＝０が必要で十分で(3)は次と同値　

|1　　0 　　 0|　　　　
|1 β1-α1 β2－α2|＝0　
|1 γ1-α1 γ2－α2|
1列目にα1を掛けて2列目に加え、1列目にα2をかかけて3列目に加えて
⇔
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|＝0　・・・(4)が必要十分。これが（高校や）「複素関数論」のところでならうもの。
|1 γ1 γ2|

ゆえに「合同条件」は、(1)(2)でr=1ということだから、同様にして　
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|＝0　・・・(4)　（　と　(1)(2)から　　）
|1 γ1 γ2|

かつ　(γ2－α2)/(γ1－α1)＝(β2－α2)/(β1－α1)=e^(iθ)　・・・(5)
このとき　|γ2－α2|=|γ1－α1|,かつ|β2－α2|=|β1－α1|　・・・(6)となる。

◎以下　γ2の複素共役をγ2^(-) で表すことにする。
　　よって　　△ABCと△A'B'C'が合同
⇔　(γ2－α2)/(γ1－α1)＝(β2－α2)/(β1－α1)かつ
　　|γ2－α2|=|γ1－α1|,かつ|β2－α2|=|β1－α1|　・・・(6)
⇔
|1 α1 α2|
|1 β1 β2|＝0・・・(4)　かつ　|γ2－α2|=|γ1－α1|,かつ|β2－α2|=|β1－α1|・・・(6)
|1 γ1 γ2|
（何故なら　2辺挟角等しくて合同）
(6)は|γ2－α2|=|γ1－α1|を平方して(γ2－α2)(γ2^(-)－α2^(-))=(γ1－α1)(γ1^(-)－α1^(-))
これを行列にして
|1　　0 　　 　　　　　0　　|　　　　
|1 γ2^(-)－α2^(-)　 γ1-α1 |=0
|1　γ1^(-)－α1^(-)　 γ2－α2 |　　　　　|
⇔
|1　　 α1^(-)+α2^(-)　 α1+α2 |　　　　
|1 　　γ2^(-)+α1^(-)　 γ1+α2 |=0　・・・(7)
|1　　 γ1^(-)+α2^(-) 　 γ2+α1 |
|β2－α2|=|β1－α1|から　同様に
|1　　 α1^(-)+α2^(-)　 α1+α2 |　　　　
|1 　　β2^(-)+α1^(-)　 β1+α2 |=0　・・・(８)
|1　　 β1^(-)+α2^(-)　　β2+α1 |
となり、
(4)かつ(7)かつ(8)　の3つの行列式=0
となるが　(7)(8)は美しさはありません。
計算間違っていたらすみません。

回答No.1

ji---san

行列式ではかけません。なぜなら行列式はベクトルの方向だけしか考慮しないからです。

|a1 x*b1 c1| |a1 b1 x*c1|
|a2 x*b2 c2| = |a2 b2 x*c2|
|a3 x*b3 c3| |a3 b3 x*c3|