複素積分

質問

In=1/2πi∫ c f(z)z^-n-1dz cは積分路でz=exp(iθ)で円周上を正の向きに回る。
f(z)=(2z^2+5z+2)/(2z^2-5z+2)です。
nは任意の整数としたとき複素積分Inはどうなるかわかりません。解き方のヒントを教えていただけたらありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

念のため確認しますが被積分関数のf(z)の後ろのz^-n-1はz^(-n-1)ということですよね。
そのつもりでお答えします。

経路が単位円となっていますので、|z|<1の領域にあるすべての特異点の留数の和を求めればよい、ということです。

まず、特異点を探します。z=1/2はnの値に関係なく1位の特異点です。
n<0の場合、特異点は1個だけです。
n≧0の場合、z=0がn+1位の特異点になります。

次に留数を求めます。
z=1/2における留数は簡単に計算できます。
z=0における留数を公式から求めるのは面倒です。
f(z)をz=0の周りでテーラー展開したほうが簡単そうです。z^nの係数が求める留数になります。このテーラー展開もf(z)の式を部分分数に分解してしまえば簡単です。

お礼

ありがとうございます。よく理解できました！