表現行列について

質問

表現行列について

e1,e2,e3を3次の標準基底とする。
a=(1,1,0) , b=(0,1,1) , c=(1,y,1)
線形変換　f:R^3→R^3 がf(a)=e1, f(b)=e2を満たす。

(a,b,c)が線形従属の時、cのfによる像f(c)を求めよ。

という問題なのですが、線形従属の必要十分条件がy=2であることは分かったのですが、その後が分かりません。
fの表現行列を求めようにも、線形従属のため、逆行列が求められませんし・・・。

よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

OK.
で, 「(a,b,c)が線形従属」なんだから「すべてが 0 でない」 α, β, γ によって
αa + β b + γ c = 0
と書けるわけだ. 今の場合は, 特に
c = λa + μb
(ただし λ, μ は定数) とできることも分かってるよね?

お礼

はい。
その、λとμはどちらも１になりますね。

回答No.5

Tacosan

うぅ～ん, ここまでくればもうほとんど自明のはずなんだけどなぁ....
・f(a) = e1, f(b) = e2
・c = a+b
・f は線形, つまり f(λx + μy) = λf(x) + μf(y)
という条件下で f(c) を求めるだけ, なんだけど....

お礼

「λ」「μ」をわざわざ使って下さったので、それでひらめきました。

f(a+b) = f(a) + f(b)

こういうことですね。

理解できました、ありがとうございます！

回答No.4

Tacosan

えぇと....
まだわからない?

お礼

すみません・・・分からないです。
cがaとbで表せても、cのベクトルは元々分かっているので、情報量が増えたようには思えません。

おそらく、fは求めないでやる解答なのでしょうが、aとbの動きから規則を見つけるのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

「線形写像」の定義を書いてみては.

お礼

V,V'をR上の線形空間として、VからV'への写像fが、任意のx,y∈Vと任意のλ,μ∈Rに対して、次を満たすとき、fをVからV'への線形写像という。

f(λx + μy) = λf(x) + μf(y)

回答No.1

Tacosan

表現行列なんかいらない. 線形変換 (というか線形写像) の定義が出てくればいい.

お礼

ありがとうございます。
定義はすぐに出てきますが、本問にどう適用していいのかが分かりません。