複素数値の面積とはどういうものなのでしょうか?

質問

複素積分とは
∫_c f(z)dz:=lim_{n→∞,max|z_k-z_{k-1}|→0}Σ_{k=1}^nf(ζ_k)(z_k-z_{k-1})
で定義されるものだと思います。
イメージとしては2変数実関数z=f(x,y)の線積分(R^3内曲線z=f(x,y)下のカーテンの面積に相当)の複素バージョンと感じました。
一般には∫_c f(z)dz値は複素数になりますが複素数値面積とはどう捉ええればいいのでしょうか?

面積には広い・狭いという概念がありますが,複素数の世界では大小関係がありませんよね。
よって,複素数値面積には広い・狭いとかの概念が存在しない事になってしまいますよね。

うーん一体,複素数値面積とはどういうものなのでしょうか?
分かりやすくお願い致します。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

数学では前提条件がきわめて大事です．

したがって，当初の質問文のようなものは
定義としてはダメダメです．

一方，補足の方は・・・
きちんと前提条件があるでしょう？
ああいう条件もすべて含めて定義なのです．
＃もっとも・・・この定義もだいぶ端折ってるんだけども
＃それは仕方がないことでしょう・・・
＃もしくはこの定義の前にいろいろと議論があるのでしょうし

本題．
積分＝面積
というのは捨てましょう．
歴史的には確かにそうだし，
実積分ではリーマン積分・ルベーク積分ともに
面積や長さ・体積といった幾何的な値になりえますが
複素積分はそういうものから一段あがった
抽象的なものです．

決して複素数の面積とか体積とか
そういうものではありません．
関数の性質を反映する指標の一種ともいうべきものであり
面積とかはそれの一側面でしかありません
＃複素積分の応用で実積分の計算ができることがありますが
＃それはたいていは留数とよばれる複素解析の一大概念の応用です

ということで，No.1さんがすでに指摘していることに尽きます．

お礼

複素積分は面積や長さに結びつけられない抽象的なものだったのですね。
お蔭様でとても参考になりました。

回答No.2

kabaokaba

>複素積分とは
>∫_c f(z)dz:=lim_{n→∞,max|z_k-z_{k-1}|→0}Σ_{k=1}^nf(ζ_k)(z_k-z_{k-1})
>で定義されるものだと思います。

まったく違います．
一般に複素積分と呼ばれるものは
いわゆる「線積分」の一種です．
したがって，このような定義ではありませんし，
そもそもこの定義での「C」って何ですか？
それが右辺にどのように関係しますが？
右辺はきちんと存在しますか？
存在するための条件はありますか？

お礼

大変有難うございます。

複素関数キャンパスゼミ 馬場敬之著のp147より

『w=f(z)を滑らかな曲線C:z(t)=x(t)+iy(t)で定義された,1価の連続関数とする。また,曲線Cの小区間⊿z_k(k=1,2,…,n)の
絶対値|⊿z_k|の最大値をmax|⊿z_k|とおく。ここで,max|⊿z_k|→0となるように小区間の分割数nをn→∞とすると,
ζ_kの取り方に関わりなく和S_n=Σ_{k=1}^nf(ζ_k)(z_k-z_{k-1})は限りなく一定の値に近づく。
この値を∫_c f(z)dzと表し,複素関数f(z)の曲線Cに沿った"積分"または"線積分"と定義する。また,Cをこの積分の積分路と呼ぶ。
つまり,∫_c f(z)dz=lim_{n→∞}S_n=lim_{n→∞,max|⊿z_k|→0}Σ_{k=1}^nf(ζ_k)⊿z_kとなる。』

と載っているのですが私の解釈の何処が間違っているのでしょうか?

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

発想が逆です。

面積計算は積分の応用のひとつに過ぎません。

たしかに、積分を面積で説明することはよく行われますが、
それは積分の初等的な説明であって、それで説明できる
積分が全てではありません。

複素積分はその定義をそのまま受け入れるしかないでしょう。
面積に置き換えて考えるには無理があります。

お礼

複素積分は面積や長さに結びつけられない抽象的なものだったのですね。
お蔭様でとても参考になりました。