複素積分についての質問です

質問

複素平面において、点√3iを始点とし、点-√3iを終点とする線分をC1とし、
また、{Re(z)≦0,|z|=√3}を満たす半円をC2とした場合(向きは反時計回り）、
(1)∫_{C1}(1/(1+z))dz
(2)∫_{C2}(1/(1+z))dz
(3)∫_{C1}(zの共役複素数)dz
(4)∫_{C2}(zの共役複素数)dz
を求めよといった問題について、

(1)∫_{-√3i}^{√3i}(1/(1+z))dz
=log(1-√3i)-log(1+√3i)
=log((1-√3i)/(1+√3i))
=log((-1-√3i)/2)
=log1+iarg(4pi/3)=iarg(4pi/3)

(2)∫_{C2-C1}(1/(1+z))dzは留数定理より、
=2pi*Res(1/(1+z),-1)=i2piとなるから、
∫_{C2}(1/(1+z))dz=i*2pi-iarg(4pi/3)

(3)∫_C1(x-iy)d(x+iy)
=∫_{0}^{0}xdx-i∫_{√3i}^{√3i}ydy
=-i[y^2/2]_{-√3i}^{√3i}=0

(4)∫_{C2-C1}(zの共役複素数)dzはこの領域内に
特異点を含まないから積分値は0になる。
したがって∫_{C2}(zの共役複素数)dz=0

として、求めたのですが、これであってますでしょうか？
一番の疑問点は、(1)と(2)では、経路の違いにより、
積分値が異なっていますが、(3)と(4)では、同じになって
しまっていることです。
ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

(1)
>=log(1-√3i)-log(1+√3i)
「不定積分」みたいなものを考えてもるのは間違っていませんが(と言っても、実際にはこれを-1倍したものになると思います)、複素関数のlogは多価関数なので、このように考えるのは結構危険です。

logが多価関数なので、当然、
>=log(1-√3i)-log(1+√3i)
も多価である「はず」です。しかし、1/(z+1)をC1上積分したものは、１つの値に決まります。この２つが等号で結ばれるのは、おかしいとは感じませんか？

どのリーマン面で積分しているのかを考慮に入れないと、このようなおかしなことになってしまいます。(式変形を見る限り、そのことは考慮されていないように思います)

(2)
やり方はそれでいいと思います。(1番の答えが違うので、答えは間違ってますが)

(3)
どういう計算をしたのかよく分かりませんが、
∫(u+iv)d(x+iy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)
という風にしたかったんですかね？だとしたら、いろんなところが間違っています。

(4)
留数定理は被積分関数が正則の時に成り立ちますが、zの複素共役は正則ではありませんから、留数定理は使えません。そのため、
>∫_{C2-C1}(zの共役複素数)dzはこの領域内に
>特異点を含まないから積分値は0になる。
このようにはなりません。(ちなみに、zの複素共役を閉曲線で積分すると、閉曲線が囲む図形の面積(の定数倍？)になったはず)

まぁ、基本的には、(1),(3)はz=iyと、(2),(4)はz=√3e^(iθ)と置換して、(実数の積分だと思って)計算するのがいいかと思いますが。

補足

詳しい、ご回答ありがとうございます。

(1)については、z=iyとおいて、
∫_{√3}^[-√3]{i/(1+iy)}dy
=∫_{√3}^[-√3]{y/(1+y^2)}dy+i∫_{√3}^[√3]{1/(1+y^2)}dy
=1/2*log[1+y^2]_{√3}^{-√3}+i[arctan(y)]_{-√3}^{√3}
=i4π/3

(2)については、前回と同様の方法を用いて、
i2π/3と求めました。

(3)についてはz=iyとおいて、
∫_{√3}^[-√3](-iy)d(iy)
=∫_{√3}^[-√3](y)dy
=[y^2/2]_{√3}^{-√3}
=0

(4)については、z=√3exp(iθ)とおくと、
∫_{π/2}^[3π/2](√3exp(-iθ)*(i√3exp(iθ)dθ))
=i3∫_{3π/2}^[π/2]dθ
=i3[θ]_{π/2}^[3π/2]
=i3π

となったのですが、これで正しいでしょうか？

回答No.5

eatern27

補足について。

(1)
>=1/2*log[1+y^2]_{√3}^{-√3}+i[arctan(y)]_{-√3}^{√3}
第二項は、下端が√3,上端が-√3ですよね。

ちなみに答えは-2πi/3になります。
不定積分みたいなやり方で(4πi/3)と言う答えが出たようですが、この答えとちょうど2πiだけ違いますよね。これは、要するに、logの位相の選び方が間違っていたということです。

(3),(4)はそれでＯＫです。

お礼

ご指摘のとおり、(1)については、下端と上端が逆でしたね。正しく計算しなおすと、-2πi/3となりました。
複素関数のlogは2nπiの任意性を持つから、今回のように
どの複素平面上で積分していくかを考慮する必要があるのですね。ありがとうございます。

回答No.4

endlessriver

＃１です。
＃３のかたの指摘のように誤りでした。
失礼しました。

回答No.2

endlessriver

＃１です。失礼しました
(1)=i(4π/3)です。

回答No.1

endlessriver

(1)は記述が正確で無いと思います。
logz=log|z|+iargz
ですから
(1)=4pi/3と思います。

(4)は円弧だからR=√3(定数)としてＣ2ではz=Re^(iθ)となります。するとdz=iRe^(iθ)dθです。
∫(z^*)dz=∫Re^(-iθ)dz=iR^2∫dθ
です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
(4)については、円弧ですから、z=Re^(iθ)
と考えれば良かったのですね。