複素関数と行列の関係がわかりません

質問

「複素数zについて，√zが定められている．このとき，正方行列Aの固有値が，0および虚部が負の純虚数でなければ，√Aが定義できる．これは，Aの固有値を含む領域において正則なzの関数f(z)に対して，f(A)が定義できるためである．」ということを習いました．

ここで，質問なのですが，「正方行列Aの固有値が，虚部が負の純虚数でない」という条件はなぜ必要なのでしょうか？

√zについてz=rexp(iθ)と極形式で表示して，コーシーリーマンの関係式を調べると，z=0のときは，√zは正則ではないということがわかり，これが「Aの固有値が0でない」ことを要求する理由だと考えました．

しかし，r≠0かつθ=-π/2の場合は，√zが正則であるため，Aの固有値として虚部が負の純虚数が存在していても，√Aが定義できると考えてしまいます．

ご教授願います．

回答No.1

kabaokaba

＞「複素数zについて，√zが定められている．このとき，正方行列Aの固有値が，0および虚部が負の純虚数でなければ，√Aが定義できる．これは，Aの固有値を含む領域において正則なzの関数f(z)に対して，f(A)が定義できるためである．」

いろいろなことがごっちゃになっているんですよ，これ

まず・・・
「複素数zに対して√zが定義される」
これは・・・たぶん，√zが「一価正則」という意味でしょう．
ご承知だとは思いますが，複素数zに対して，その平方根（一般に累乗根）は
一価ではありません．値を複数取りうるので，
その定義域をうまいこと調整して，一価正則になるようにします．
それには，「0を含む直線」を複素平面から切り取った領域を定義域にして
0の周りを回れないようにしてあげるのが普通です
（直線である必要はないけど，それが一番簡単）．

さて。。。。ここで，
「正方行列Aの固有値が，0および虚部が負の純虚数でなければ，√Aが定義できる」
この条件，これって，要するに
「0を含んだ虚軸の負の部分，Im(z)<=0の」ではない部分のことで，
まさに「「0を含む直線」を複素平面から切り取った領域」です．
複素数zに対して√zが定義できるための条件の特別な場合です．

話を単純化しましょう．Aを二次正方行列で対角化可能，
固有値をλ1，λ2としましょう．
このとき，適当な正則行列Pで
(λ1 0, 0 λ2) = P^{-1}AP^{-1}
と対角化すると，
行列Bを
B=P^{-1}((λ1)^{1/2} 0, 0 (λ2)^{1/2})P
とすると，
B^2=A
ですので，Bは行列の平方根です．
＃一意性的なこととかもろもろ細かいことはこの際，割愛

ここで固有値の平方根がでててきますよね．
複素行列の場合は，ここで「固有値のある領域の制限」がかかわります
制限の仕方は一意ではありませんが，使いやすいものを選びます．
虚軸の負の部分を排除しているのは，それがきっと
今後の話のためにいいものだからなのでしょう．
＃もともとは制御系の話なのかな・・・

けども・・・
>Aの固有値を含む領域において正則なzの関数f(z)に対して，f(A)が定義できるためである．」

これはちょっと紛らわしいかも・・・確かに（標語的には）正しいかもしれないけど
例えば，f(z)=z なんていう自明な場合は
Aの固有値とか関係なく，f(A)は定義できるから．
けど，logとか累乗根を考えるとかするなら
固有値云々の話はあるほうがいいのかもしれない
＃一般論としてこの言明は正しいのか？
＃一般の正則関数fに対して，この条件でf(A)は定義できる？できたとして正則？

ざっくりいうと，質問者さんがいってるのは
「XならばY」という話をしてるときに，
「XじゃないときもYが成り立つじゃん」
ということです．

「XじゃなくてもYは成り立つ」んだけども
「XならばY」は確かなんだから，Xを考えよう，
Xじゃない場合は，なんらかの手段で
XもしくはXと同等の条件に変換できるかもしれないし，だめかもしれない．
だからまずはXのケースで議論を深めようという論旨なのでしょう．

十分条件を小さくすれば適用範囲は狭まるけど
その分議論がすっきりするものですよね．
十分条件をいかに広げるかというのは大事な問題ですが
はじめは気にしないで先に進めるのは大事なことだと思います．

お礼

返事が遅くなり申し訳ありません．
ご回答，ありがとうございます．
>「XじゃなくてもYは成り立つ」んだけども
>「XならばY」は確かなんだから，Xを考えよう
この部分でかなり納得できました．
今後ともよろしくお願いします．