複素数平面の問題教えてください！！！

質問

方程式z(２乗)－４ｚ＋１６＝０の解は
　α＝２＋２√３ⅰ，β＝２－２√３ⅰ
であり複素数αの絶対値は４，αの偏角のうち０°以上３６０°未満であるものは６０°である。
　複素数平面上で、点αを原点のまわりに正の向きに９０°だけ回転させた点をｒとし、点βを原点のまわりに正の向きに９０°だけ回転させた点をδとする。
　δ＝（ア）√（イ）＋（ウ）ⅰ
であり、αとδを解にもつ２次方程式の１つは
　ｚ（２乗）－（エ）ⅰｚ－（オカ）＝０
である。

上記の問題の（ア）～（カ）までにはそれぞれ数字１文字が入ります。
できるだけ詳しく教えてください。
お願いします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

i=cos90°+isin90°より
点βを原点のまわりに正の向きに９０°だけ回転させた点がδなので
δ=β・(cos90°+isin90°)=(2-2√3i)i=2i-2√3・i^2=2i+2√3 =2√3+2i
[i^2=-1 より]
よって，（ア）＝２，（イ）＝３，（ウ）＝２

＞αとδを解にもつ２次方程式の１つは

これだと答えの形に合わないと思います．
点αを原点のまわりに正の向きに９０°だけ回転させた点をγ　(ｒでなくγなのでは？)
この推測で書くと，

γとδを解にもつ２次方程式の１つは
(z-γ)(z-δ)=0
ここで　γ=iα, δ=iβ より
(z-iα)(z-iβ)=0
z^2-i(α+β)z+(i^2)αβ=0
z^2-i(α+β)z-αβ=0・・・(1)

最初の方程式z^2-4z+16=0の2解がα,βなので解と係数の関係より，
(またはαとβの具体形より，)
α+β=4,　αβ=16
なので，
（１）は
z^2-4iz-16=0
となる.
よって（エ）=4，（オ）＝１，（カ）＝６

[補足]勿論，具体的に　γ=iα=-2√3+2i　を求めてやっても出来ますが，実は無駄で，γとδの具体形は最後の部分では不要です．

お礼

回答有難う御座います。
ご指摘の通りαと書いていた所はγです。
申し訳ありません。

回答No.1

tak2006

問題は合ってますか？
＞点αを原点のまわりに正の向きに９０°だけ回転させた点をｒ
ｒが計算に使われない気がするのですが.