複素数平面の質問です

質問

複素数平面の質問です
f(z)=z-z^3/3（さんぶんのいち、ぜっとさんじょう）
z∈C、絶対値z=1
を複素平面に図示する事が出来ません
u=cosθ-cos3θ/3
v=sinθ-sin3θ/3
から出せる事は分かったのですが、ここから図示が出来ません。
またこの２つの値を出す迄の計算過程が、恥ずかしながら公式等を参照してもよく分かりませんでした。
どなたか教えて下さい。宜しくお願いします。

回答No.5

spring135 · ベストアンサー

z=cosθ+isinθ=e^(iθ)
（iは虚数単位)
f(z)=z-z^3/3=cosθ+isinθ-(cosθ+isinθ)^3/3
=cosθ+isinθ-(cos3θ+isin3θ)/3
=cosθ-cos3θ/3+i(sinθ-sin3θ/3)
　　=u+iv
　　=w
zの関数f(z)による写像の実部をu,虚部をvとする。
　　u=cosθ-cos3θ/3
　　v=sinθ-sin3θ/3
　　極座標(r,θ)表示する。
r^2=u^2+v^2=10/9-2cos2θ/3
　　r=（√（10-6cos2θ））/3
θ＝0～πでπ/12づつ変化させrを計算し、プロットすれば完了。
例
θ＝0　：ｒ＝2/3
θ＝π/4　：ｒ＝√10/3
θ＝π/2　：ｒ＝4/3

お礼

図示する事が出来ました。
有り難う御座いました

回答No.4

alice_44

リンク先[1]の「外サイクロイド」の項で、rc : rm = 2 : 1 とする。
[1] http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89
[2] http://cfv21.web.fc2.com/cfv21/math/epicycloid.htm
[3] http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/hikari/node6.html
リンク先[3]辺り、作図の手段にはならないが、概形を理解するには良いかも。

お礼

有り難うございます。
参考にさせて頂きます

回答No.3

gotouikusa

θをパラメータとしてPlotしたものですが，理由については考えているところです。すみません。

お礼

有り難う御座います。
形が分かって考え易くなりました。

回答No.2

gotouikusa

極座標であらわしてみてはいかがでしょうか。
次の回答で図示を添付します。

回答No.1

sanori

こんにちは。

＞＞＞またこの２つの値を出す迄の計算過程が、恥ずかしながら公式等を参照してもよく分かりませんでした。

｜ｚ｜　＝　１　なので、
ｚ　＝　ｅ^iθ　＝　cosθ　＋　ｉsinθ
と表せます。
ｚ　－　１／３・ｚ^3　＝　ｅ^iθ　－　１／３・ｅ^3iθ
　＝　cosθ　＋　ｉsinθ　－　１／３・cos３θ　－　ｉ／３・sin３θ

ｕ　＝　Ｒｅ（ｆ（ｚ））　＝　cosθ　－　１／３・cos３θ
ｖ　＝　Ｉｍ（ｆ（ｚ））　＝　sinθ　－　１／３・sin３θ

私もまだ答えにたどり着いていませんが、
３倍角の公式
cos３θ　＝　４cos^3 θ　－　３cosθ
sin３θ　＝　３sinθ　－　４sin^3 θ
のうち、sin だけ適用すると、とりあえず
ｖ　＝　sinθ　－　１／３・sin３θ
　＝　sinθ　－　１／３・（３sinθ　－　４sin^3 θ）
　＝　４／３・sin^3 θ
になってくれます。

ここから先は、何かをパラメータにするような気がしますが・・・
・・・未完成ですみません。

もしもアイディアが浮かんだら、また来ます。

お礼

素早い解答有り難うございました
普段こういった計算をしないので助かりました