複素積分の問題を教えてください

質問

∫c z^2/(z^3 + z^2 - 2)dz
Cはlzl=2で与えられる単一閉曲線で正の向きをもつものとする．
という問題です．
留数定理をつかい解こうとしたのですが，留数を求める計算が複雑になりわからなくなってしまいました．
解き方がわからないので教えてほしいです．

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(z)=z^2/(z^3+z^2-2)
特異点はf(z)の分母=0から
z^3+z^2-2=(z-1)(z+1+i)(z+1-i)=0
z=1, -1±i
これらのf(z)の3個の1位の特異点はいずれも積分路C:|z|=2の内部に存在する。
　|1|=1<2, |-1±i|=√2<2

f(z)の留数を求めると
Res(f(z),1)=lim(z→1) f(z)(z-1)=lim(z→1) z^2/(z^2+2z+2)=1/5
Res(f(z),-1+i)=lim(z→-1+i) z^2/((z-1)(z+1+i))
=(-1+i)^2/((-2+i)(2i))=(2+i)/5
Res(f(z),-1-i)=lim(z→-1-i) z^2/((z-1)(z+1-i))
=(-1-i)^2/((-2-i)(-2i))=(2-i)/5

留数定理より
∫c z^2/(z^3 +z^2 -2)dz
=2πi{Res(f(z),1)+Res(f(z),-1+i)+Res(f(z),-1-i)}
=2πi{(1/5)+((2+i)/5)+((2-i)/5)}
=2πi(1+4)/5
=2πi ←　(答え)

お礼

途中式を間違えて計算していました．
ありがとうございました