複素数で三角形の相似条件、行列式

質問

複素数の三角形の相似条件を、行列式で書くのがわからないので質問します。
複素数平面で2つの三角形Z_1Z_2Z_3とU_1U_2U_3が相似になる条件は、{(Z_2-Z_1)/(Z_3-Z_1)}={(U_2-U_1)/(U_3-U_1)}であり、これは行列式|{Z_1,U_1,1},{Z_2,U_2,1},{Z_3,U_3,1}|=0と書きあらわされる。(行列式は{}で1行を表し、左から１行目、２行目・・・と表し、{}のなかで左から列を,で区切って、１列、２列・・・表しています。記述した行列式の1行1列の要素は、Z_1。3行2列目はU_3です。)これは2つの三角形Z_1Z_2Z_3とU_1U_2U_3が同じ向きに相似になる必要十分条件であるが、・・・と本に書かれています。複素数の三角形の相似条件を行列式に書き直す過程がわからないのですが、複素数の相似条件を書き直すと、(Z_2-Z_1)*(U_3-U_1)-(U_2-U_1)*(Z_3-Z_1)=0これは2*2行列式の|{Z_2-Z_1,U_2-U_1},{Z_3-Z_1,U_3-U_1}|=0となると思うのですが、これを3*3行列式にする計算がわかりません。本やインターネットでしらべたのですが、3*3行列式を2*2行列式の３つの和で表すことはあっても、行列式の次数をあげる方法はなかったです。複素数の相似条件を展開して整理して、3*3行列式の定義を満たしていることを確認するのは、Z_1U_2*1+Z_2U_3*1+Z_3U_1*1-U_1Z_2*1-U_2Z_3*1-U_3Z_1*1=0となり。行列式の初心者にとってはわかりづらく。それ以外の方法で、3*3行列式に書き直す方法があると思いました。どなたか複素数の三角形の相似条件を3*3行列式で書きあらわす計算過程を教えてください。また、どなたか複素数平面での図形の扱い行列式で解説した本を紹介していただけませんでしょうか？できれば行列や行列式の初心者でもわかりやすい本をお願いします。疑問の元になった本は「幾何の有名な定理」矢野健太郎著でした。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

どこまでが問題、どこまでが本の解説、どこまでが疑問なのか、分かり易く書いてくれないでしょうか。

行列式が0というのは、縦ベクトル（または横ベクトル）の組が線形従属である、ということ。

つまり、| {z[1], u[1], 1} , {z[2], u[2], 1}, {z[3], u[3], 1}| = 0というのは、縦ベクトルに注目すると、つまりは3つのベクトル {z[1], z[2], z[3]} , {u[1], u[2], u[3]}, {1, 1, 1}が線形従属という意味である。
つまり、どれか一つは0でない複素数 A, B, Cがあって、A{z[1], z[2], z[3]} + B{u[1], u[2], u[3]} + C {1, 1, 1} = 0 (1)が成り立つ、ということ。

ここで、AとBはどちらも0ではない。なぜなら例えば A=0とすると、B=0は有り得ないので（A, B, Cの少なくとも一つは0ではない）、{u[1], u[2], u[3]} = (C/B) {1, 1, 1} となるが、これでは(u[1], u[2], z[3]) は三角形を成さない。なので、(1)の両辺を Bで割って、(A/B){z[1], z[2], z[3]} + {u[1], u[2], u[3]} + (C/B) {1, 1, 1} = 0 (2)となる。ここで、A/Bは0でない複素数、C/Bは全ての複素数である。

ところで、三角形(z[1], z[2], z[3] )と三角形(u[1], u[2], z[3]) が相似というのは、三角形(z[1], z[2], z[3] )を原点を中心にとある複素数 D(≠0）倍して、その後とある複素数 E平行移動すれば (u[1], u[2], z[3]) となる、ということである（|D|が拡大率、Dの偏角が回転を表す）。
つまり、D{z[1], z[2], z[3]} + E{1,1,1} = {u[1], u[2], z[3]} 。よって、-D{z[1], z[2], z[3]} + {u[1], u[2], z[3]} - E{1,1,1} = 0 (3) となって、(2)と(3)は全く同じ式である。

お礼

線形従属と行列式の関係から調べてみようと思います。文章の改善点も教えていただきありがとうございます。

回答No.2

tmppassenger

なんかところどころ (u[1], u[2], u[3]) と書くべきところを (u[1], u[2], z[3]) と書いてしまってますが、読み替えてください。

お礼

訂正をありがとうございます。