(1)円に内接する三角形の内面積最大となるものを求めよ。

質問

（解答）
半径1の円の中心Oから円周へ３本の線を引くとする。
円周と各々の線の交点(A,B,C)を頂点とする三角形の面積は
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA　である。
∠AOB、∠BOC、∠COAをそれぞれα、β、γとすれば
当然α＋β＋γ＝２πである。
さて、△ABCの面積Sは公式より
S=1/2 ×(sinα+sinβ+sinγ)
である。
ここでsinα+sinβ+sinγを最大のとき三角形の面積は最大になる。
γ=2π－(α＋β)
なので、上式からγを消去すると
f'=sinα+sinβ+sinγ
=sinα+sinβ+sin(2π-(α＋β))
=sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β)
ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると
f'=cosα-sin(α+β)-cos(α+β)
　=cosα-{sin(α+β)+cos(α+β)}=0
cosα=sin(α+β)+cos(α+β)
=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ
したがってα＝β
よって面積が最大となるのは、α＝β＝γのとき、
すなわち△ABCが正三角形のときである。

上のように解いたのですが、説明は十分でしょうか？
助言をお願い致します。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると
>(中略)
>したがってα＝β

図形的に考えると、角βを固定して、面積が最大になるのは点Ａが丁度反対側にある場合だと思います。
なので結論がおかしそうですが、どうですか？

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

回答No.8

take_5

今頃、書き間違いに気がついた。。。。。。苦笑

＞√{（1－cosβ）＾2＋（sinβ）＾2}＋sinβ＝cos（β/2）＋sinβ　として、求める。

　　　　　　　　　　　　　↓

√{（1－cosβ）＾2＋（sinβ）＾2}＋sinβ＝sin（β/2）＋sinβ　として、求める。

ついでに言っとくが、いずれにしても微分は使うが、面倒な計算は避けたい。
従って、sin（β/2）＋sinβ　から先での微分には、少し頭を使おう。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

回答No.7

kumipapa

#6 ごめん文字化け　訂正
α + β = 2π - γ = φ,　 0 ＜ φ ＜ 2π
とおいて、α = β = φ/2 のときに面積最大となることを示せばよい。丁寧に展開すると、
sinα + sinβ + sinγ
= sinα + sin（φ - α） + sinγ
= sinα + sinφ cosα - sinα cosφ + sinγ
= (1 - cosφ) sinα + sinφ cosα + sinγ
= 2(sin(φ/2))^2 sinα + 2 sin(φ/2) cos(φ/2) cosα + sinγ
= 2 sin(φ/2){sin(φ/2) sinα + cos(φ/2) cosα} + sinγ
= 2sin(φ/2)cos(α - φ/2) + sinγ

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
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回答No.6

kumipapa

質問者さんの解答の流れに従うと、一つの角度を固定したとき（即ち、内接三角形の一辺を固定したとき）、内接三角形の面積を最大にするのは残りの２つの角度が等角であるとき（即ち、二等辺三角形であるとき）であり、そこから正三角形の時に面積最大となることを言いたいのでしょう。
であれば、
α, β, γ のうちγを固定して、
α + β = 2π – γ = φ,　 0 ＜ φ ＜ 2π
とおいて、α = β = φ/2 のときに面積最大となることを示せばよい。丁寧に展開すると、
sinα + sinβ + sinγ
= sinα + sin（φ – α） + sinγ
= sinα + sinφ cosα – sinα cosφ + sinγ
= (1 – cosφ) sinα + sinφ cosα + sinγ
= 2(sin(φ/2))^2 sinα + 2 sin(φ/2) cos(φ/2) cosα + sinγ
= 2sin(φ/2)cos(α – φ/2) + sinγ
∴ γを固定（φを固定）したときに面積を最大にするのは α = φ/2 = β

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

回答No.5

take_5

質問者の方法に従うのなら以下のようにすればよい。
但し、高校数学に、偏微分は使えない。

Ｆ＝sinα+sinβ+sinγ＝sinα+sinβ+sin(2π-(α＋β))＝sinα+sinβ-sin(α＋β)＝
（1－cosβ）sinα-sinβcosα＋sinβ≦√{（1－cosβ）＾2＋（sinβ）＾2}*cos（α＋θ）＋sinβ≦
√{（1－cosβ）＾2＋（sinβ）＾2}＋sinβ＝cos（β/2）＋sinβ　として、求める。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
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回答No.4

take_5

簡単な方法がある。

sinαは0＜α＜πにおいては上に凸関数である。
従って　sinα+sinβ+sinγ≦3*sin{（α＋β＋γ）/3}が成立し、等号はsinα＝sinβ＝sinγ　即ち　α＝β＝γの時、
すなわち△ABCが正三角形のときである。

凸関数については、検索すれば出てくるでしょうから、自分で検索して調べてください。

お礼

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回答No.3

jamf0421

No2さんのご指摘の通りだと思います。sin(2π-(α+β))=-sin(α+β)のはずです。
しかし、このような問題はラグランジュの未定乗数法をつかうと見通しがよいのではないですか。f(x,y)=0という条件のもとでh(x,y)の極値を求める問題では、未定の乗数をλと書いてψ(x,y)=h(x,y)-λf(x,y)をつくり、これをx, y, λの其々で偏微分したものをゼロと置くのです。
今の例では
h(α,β,γ）=sinα+sinβ+sinγ
f(α,β,γ)=α+β+γ-2π
とし
ψ(α,β,γ)=h(α,β,γ)-λf(α,β,γ）
について
∂ψ/∂α=0, ∂ψ/∂β=0, ∂ψ/∂γ=0, ∂ψ/∂λ=0
ですから、これらより
cosα-λ=0, cosβ-λ=0, cosγ-λ=0, α+β+γ-2π=0
を得ます。これから2πのずれを除いてα=β=γ=2π/3になりますね。ちなみにこの時λ=cos(2π/3)ですから-1/2になっています。

お礼

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回答No.2

kumipapa

逆に見ていって・・・ #1 さんに追加

・　「したがって α = β」??
・　f ' = 0 を最大値の条件とした根拠
・ f'=sinα+sinβ+sinγ
=sinα+sinβ+sin(2π-(α＋β))
=sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β)
2行目から3行目の変形はおかしくないですか？

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
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