３辺の長さがわかる場合の三角形の面積

質問

四面体OABCがあり、∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝９０°、OA＝a、OB=ｂ、OC=cとする。
(1)三角形ABCの面積をSとする。Sをa,b,cを用いて表せ
(2)a^2+b^2+c^2=1のときSの最大値を求めよ

三平方の定理より、AB=√(a^2+b^2)、BC=√(b^2+c^2)、CA=√(c^2+a^2)
とわかるのでそこから「ヘロンの公式」を利用して面積を求めようと思ったのですが、いくら計算しても複雑でなかなかまとまりません
簡単にSを求める方法はあるでしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いいたします

回答No.5

age_momo · ベストアンサー

今、Oを原点とするとA,B,Cはそれぞれ(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)と表せます。
するとベクトル↑AB,↑ACの成分はそれぞれ(-a,b,0),(-a,0,c)です。
ベクトルAB,ACで形成される三角形の面積はベクトルの外積を用いると

S=1/2|↑AB×↑AC|

です。↑AB×↑AC　の成分は(bc,-ac,-ab)ですから

S=1/2*√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)

となります。

回答No.4

Tacosan

基本線は #2 でいく.
O からの距離は平面ABC の方程式をたてて「点と平面の距離」で考える.

回答No.3

tomo_momo

すみません、間違えました。交わる点はそこではないです。垂線の方向ベクトルは　(1/a, 1/b, 1/c)　ですか？　なら、（1/a,1/b, 1/c) t
とかおいて、t を求めて、交わる点を求めて、垂線の長さを求めて、簡単そうですね。

回答No.2

tomo_momo

直感的には、この四面体の体積を2通りの方法で計算する。

A(a,0,0)　B(0,b,0),　C(0,0,c)　などとおくと、
この体積は明らかに　abc/6

ところで、平面ABCにOから垂線を下ろすと、これが、（a/3,b/3,c/3)　で交わるんだな。　なら、距離は簡単にもとまり、Sと距離の掛けたものの3分の一が　はじめに求めた体積になる。

回答No.1

kakkysan

ごりごりと計算していくなら、ヘロンを使うより、余弦定理を利用した方が計算は楽だし速いようです。
例えば
cos∠ABCを求める
sin∠ABCを求める

S=(1/2)BA*BC*sin∠ABC
で計算してみてください