円の面積を求めたい

質問

xy平面上では円の面積がπr^2と公式通りもとまるのですが・・・

いま、円の面積を求める為に３次元のxyz空間を考え、半径rの円の中心を原点Oにとります。

円の中心からz方向に距離aだけ離れた点A(0,0,-a)から、円周上の任意の点Pまで結んだ線を線分APとし、線分AO(点Oは原点)と線分APのなす角度をθfとします。

[ここからの計算のどこから間違ってるのかが分からないのです]

任意の円の半径をsとし、線分AOから線分APまでの任意の角度をθとすると、微小円の面積はその円周に微小なθの変化量dθをかけて求まると考えると、いま、s=a*tanθなので円の全面積Sは、S=∫2πa*tanθdθ(積分範囲は0～θfまで)となり、これを計算すると、S=-2πa*logcosθf
となってしまいπr^2とは全く違った結果になってしまいます。

どなたか欠点を指摘していただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

Denkigishi · ベストアンサー

円環の面積は、円周×微小幅　で、これを積分するという考え方はいいですが、S=∫2πa*tanθdθ　にはなりません。
円周＝2πatanθ　微小幅ds＝a｛tan(θ＋dθ)－tanθ}　となります。

お礼

ちょっと考えれば当たり前でした。

申し訳ありません。

補足

回答ありがとうございます。

理解できないので補足させていただきますが

dsがなぜa｛tan(θ＋dθ)－tanθ}となるのでしょうか？