二等辺三角形の面積が最大化されるときの角度について

質問

二等辺三角形の面積が最大化されるときの角度を求める問題についての質問です。

以下（１）～（５）のように考えると底辺が45度の時に最大化されるようですが何か大きな勘違いしているようですのでアドバイスいただけると助かります。

三角形ABCとしてAB=AC=x、角ABC＝ACB＝ｙ（０＝＜ｙ＝＜９０度）の二等辺三角形を考え、ｘを固定してｙが動くときこの面積の最大化を考えたいのですがこの際に、
（１）BCの中点Mをとり三角形ABMの面積の最大化を求めてもよいように思います。

ABMの面積Sを最大になるときのｙの条件を考えると、
（２）ABMは直角三角形ですからAM＝ｘ*sinｙ、BM＝x*cosｙより、S＝1/2*ｘ^2*sinｙ*cosｙ　

（３）ｘ＞0より結局　sinｙx*cosｙ　の最大化を求めればよく、
（４）sinｙx*cosｙ＝1/2*sin2ｙより０＝＜ｙ＝＜９０度ではsin2ｙ＝１となるときが最大、

（５）つまり2y=90度、y=45度のときにSが最大となり、この際に三角形ABCも最大化になるような気がします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

三角関数？いらないでしょう。「三角形の面積は、底辺掛ける高さ割る2」という呪文だけあれば十分です。

　まず、ABが「底辺」だと思えばその長さはx。これは固定なので、「三角形の面積」は「高さ」に比例します。

　次に、「高さ」はどうやってもx以上にはならない。頂点CはAを中心とする半径xの円周上を動くからです。（No.3の図を見るとよくわかりますね。）
　じゃあ、「高さ」が最大値xになるのはどういう場合かというと、角BACが直角になるとき。つまり直角二等辺三角形になるとき。

　直角二等辺三角形なら、角yの大きさは45度です。

お礼

遅くなりまして申し訳ありません、ご回答ありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

考え方はきちんとできていますよ。＾＾

視点を変えてみることもできますね。
「底辺」のとり方を変えてみると、わかりやすいかと。
図のように、等しい長さの辺の一つを底辺ととれば、
角度に応じて残りの頂点は円周上を移動していきます。

底辺が固定されているので、「高さが最大」となるときを考えればいいですよね。

＞三角形ABCとしてAB=AC=x、角ABC＝ACB＝ｙ（０＝＜ｙ＝＜９０度）の二等辺三角形を考え、
＞ｘを固定して
x, y, zは変数とし、定数は aとかを用いることが多いですね。
ただの習慣みたいなものですが。

お礼

遅くなりまして申し訳ありません、ご回答ありがとうございました。

回答No.2

MARIOworldhouse

質問内容を何回も目を通したけれど、合ってると思います！

お礼

遅くなりまして申し訳ありません、ご回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

いや, あってると思うよ.

お礼

遅くなりまして申し訳ありません、ご回答ありがとうございました。