三角錐の体積

質問

三角錐Ｏ－ＡＢＣと底面ＡＢＣ上の点Ｘは、ＯＡ＝２，ＯＢ＝３，ＯＣ＝４
∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ，∠ＡＯＸ＝∠ＢＯＸ＝∠ＣＯＸ＝３０°を満たす。
このとき、三角錐Ｏ－ＡＢＣの体積を求めよ。

普通は、三角錐の体積は、１／３×底面積×高さで求めるところだと
思うが、この場合は違うように思った。三角錐を３つに分割して考えるのでないかと
思ったが、２つの角度の条件をどう使うのか、分からなかった。

ＯＸ＝kとして、余弦定理をもちいて、ＡＸ＾２＝2^2+k^2-2*2*k*cos30°
などとしてみても体積につなげることができず。
∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝θして、余弦定理をもちいて、ＡＢ＾２＝2^2+3^2-2*2*3*cosθ
としてみても、これまた他の条件とどう関連づければよいかわからず。
よろしく、アドバイスをお願いします。

回答No.2

momordica · ベストアンサー

辺OA, OB, OC上に OA'=OB'=OC'=1 となる3点A', B', C'をとると、角度の条件より
三角錐O-A'B'C'は正三角錐になりますから、その体積を求めるのは容易です。
後は、その体積を 2*3*4=24倍すれば三角錐O-ABCの体積になると思います。

回答No.3

nag0720

＃１です。

＃２さんの考え方のほうが簡単ですね。
ただし、三角錐O-A'B'C'は正三角錐にはなりませんが、
底面積と高さは簡単に計算できるので体積は求められるでしょう。

回答No.1

nag0720

ＯＸを軸として点Ａを回転したときの円をＲとすると、
∠ＡＯＸ＝∠ＢＯＸ＝∠ＣＯＸなので、ＯＢ、ＯＣは円Ｒ上を通る。
その交点をＢ’、Ｃ’とすると、
∠ＡＯＢ’＝∠Ｂ’ＯＣ’＝∠Ｃ’ＯＡより、
点Ａ、Ｂ’、Ｃ’は円Ｒを３等分しており、
円Ｒの半径は１なので、
ＡＢ’＝ＡＣ’＝Ｂ’Ｃ’＝√３

よって、三角形ＯＡＢ’は、ＯＡ＝ＯＢ’＝２、ＡＢ’＝√３の二等辺三角形となり、
∠ＡＯＢ＝θ　とすれば、
ｓｉｎ（θ／２）＝（ＡＢ’／２）／ＯＡ＝√３／４

ｃｏｓθ＝１－２ｓｉｎ^2（θ／２）＝５／８

あとは、余弦定理からＡＢ、ＢＣ、ＣＡがわかる。

三角錐の高さの計算はちょっとやっかいかも。