円に内接する四角形

質問

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 13 , BC = 14 , CD = 4 , DA = 13 とする。

( 1 ) 線分ACの長さを求めよ。
AC　＝　15
( 2 ) sin ∠ ABC の値を求めよ。
sin ∠ ABC ＝ 12/13
( 3 ) 四角形ABCDの面積を求めよ。
S = 108
( 4 ) 線分AC と線分 BD の交点をEとする。AEの長さを求めよ。

△ ABC と　△ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる
AE : EC = △ ABD : △ CBD
= 1/2 ・13・13・sin∠ BAD : 1/2 ・14・14・sin ∠BCD
= 13・13　：　14・4
＝　169　：　56
よって
AE = AC ×　169 / ( 169 + 56 )
= 15 × 169 / 225 = 169 / 15

( 4 )の「△ ABC と　△ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる 」 はわかるんですが
「　AE : EC = △ ABD : △ CBD　」の、なぜ　AE : EC =　面積比　になるんですか？
というか、なぜ　AE : EC =　高さの比　になるんですか？

回答No.1

noname#56760 · ベストアンサー

>>「　AE : EC = △ ABD : △ CBD　」の、なぜ　AE : EC =　面積比　になるんですか？
というか、なぜ　AE : EC =　高さの比　になるんですか？

AからBDに垂線を引いてください。交点をXとします。すると△ ABDのたかさはAXです。∠AEX＝θとおくとAX=AEsinθ
同様に
CからBDに垂線を引いてください。交点をYとします。すると△ CBDのたかさはCYです。∠CEY＝θ（対頂角）とおくとCY=CEsinθ

△ ABD : △ CBD＝１/2×BD×AX：１/2×BD×CY＝１/2×BD×AEsinθ：１/2×BD×CEsinθ＝AE : EC

お礼

遅くなりました、ありがとうございます。

回答No.2

redowl

＞AE : EC =　高さの比

点Aから、同じく点Cから、　線分BDに対して、垂線を引けば
相似な直角三角形が現れる。　これに気がつけば疑問は解消。

お礼

遅くなりました、ありがとうございます。