ベクトルの問題です。教えてください！

質問

四面体OABCがあり、OA=OB=OC=５、∠AOB=∠BOC=∠COA=９０°である。
辺ABを２：１に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとする。
また、OA=a、OB=b、OC=c（ベクトルは省略させてください。）とする。
また直線AFと三角形OBCとの交点をPとするとき三角形OAPの面積を求めよ。

OPをベクトルで表すまではできたと思うのですが、
三角形の面積をどうやって求めればいいのかが分かりません。
詳しい解き方を教えてください！

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

ベクトル記号は省略します。

三角形の面積の公式
△ＯＡＰ＝1/2｜ＯＡ｜｜ＯＰ｜sin∠ＡＯＰ・・・※

｜ＯＡ｜を求めます。
仮定より｜ＯＡ｜＝5

sin∠ＡＯＰ（ただし、0°＜∠ＯＡＰ＜180°）を求めます。
仮定よりＯＡ・ＯＢ＝ＯＢ・ＯＣ＝ＯＣ・ＯＡ＝0
ＯＡ・ＯＢ＝0かつＯＣ・ＯＡ＝0よりＯＡ⊥平面ＯＢＣ
ＯＰは平面ＯＢＣ上のベクトルであるので、ＯＡ⊥ＯＰ
よって、∠ＡＯＰ＝90°
∴sin∠ＡＯＰ＝sin90°＝1

｜ＯＰ｜を求めます。
---------
ＯＰを求めます。（ＯＰの求め方の一例を示しておきます）
ＯＦ＝1/2ＯＤ+1/2ＯＥ
　　＝1/2（1/3ＯＡ+2/3ＯＢ）+1/2*1/2ＯＣ
　　＝1/6ＯＡ+1/3ＯＢ+1/4ＯＣ

点Ａ，Ｆ，Ｐは一直線上にあるから実数ｋを用いて、
ＡＰ＝ｋＡＦ
ＯＰ-ＯＡ＝ｋ（ＯＦ-ＯＡ）
ＯＰ＝（1-5ｋ/6）ＯＡ+ｋ/3ＯＢ+ｋ/4ＯＣ

ここで、仮定より点Ｐは平面ＯＢＣ上の点であるから、ＯＡの前の係数について、
1-5ｋ/6＝0　が成り立つ。
これよりｋ＝6/5

よって、ＯＰ＝6/5*1/3ＯＢ+6/5*1/4ＯＣ＝2/5ＯＢ+3/10ＯＣ
------------
｜ＯＰ｜＾2＝（4/25）*｜ＯＢ｜＾2+（9/100）*｜ＯＣ｜＾2（∵ＯＢ・ＯＣ＝0）
　　　　　 ＝（4/25）*25+（9/100）*25
　　　　　＝25/4
｜ＯＰ｜＞0より、｜ＯＰ｜＝5/2

ゆえに、△ＯＡＰ＝（1/2）*5*（5/2）*1＝25/4

補足：
※から△ＯＡＰ＝1/2√｜ＯＡ｜＾2｜ＯＰ｜＾2-（ＯＡ・ＯＰ）＾2という式を導出できます。これに上で出てきた値を入れても求まります。∠ＡＯＰが具体的に求まらずに内積のみがわかる場合にはこちらを使うと求められる場合があります。この式は覚えておくというより導出できるようにしておくとよいと思います。

回答No.4

alice_44

＞ OPをベクトルで表すまではできた
のであれば、あとは
(△OAP)^2 + (→OA・→OP)^2 = |OA|^2・|OP|^2
から面積を求めればよいです。
この式は、(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1 の両辺を
|OA|^2・|OP|^2 倍すれば、出ます。

(→OA・→OP)^2 や |OP|^2 の値は、
(a・a), (b・b), (c・c), (a・b), (b・c), (c・a) が既知
であることから、計算できますね。

お礼

回答してくださって有難うございます！
参考にさせていただきます。

回答No.3

ferien

＞四面体OABCがあり、OA=OB=OC=５、∠AOB=∠BOC=∠COA=９０°である。
＞ 辺ABを２：１に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとする。
＞ また、OA=a、OB=b、OC=c（ベクトルは省略させてください。）とする。
＞ また直線AFと三角形OBCとの交点をPとするとき三角形OAPの面積を求めよ。
|a|＝|b|＝|c|＝5，a・b＝b・c＝c・a＝0
OD＝(1/3)OA＋(2/3)OB＝(1/3)a＋(2/3)b
OE＝(1/2)OC＝(1/2)c
OF＝(1/2)OD＋(1/2)OE＝(1/2){(1/3)a＋(2/3)b}＋(1/2)・(1/2)c
＝(1/6)a＋(1/3)b＋(1/4)ｃ
AF＝OF－OA＝(1/6)a＋(1/3)b＋(1/4)c－a
＝(-5/6)a＋(1/3)b＋(1/4)c

A,F,Pは一直線上にあるから、AP＝kAFとおける。
OP－OA＝k{(-5/6)a＋(1/3)b＋(1/4)c}
OP＝a＋k{(-5/6)a＋(1/3)b＋(1/4)c}
＝{1－(5/6)k}a＋(1/3)k・b＋(1/4)k・c　……(1)

Pは、△OBCの内部にあるから、
OPの延長とBCの交点をGとし、BG：GC＝t：1-tとすると、
OG＝(1－t)OB＋tOC＝(1－t)b＋t・c
O,P,Gは一直線上にあるから、OP＝mOGとおける。
OP＝m{(1－t)b＋t・c}＝(m－mt)ｂ＋mt・c　……(2)

(1)(2)より係数比較すると、
{1－(5/6)k＝0，(1/3)k＝m－mt，(1/4)k＝mt
連立で解くと、k＝6/5，m＝7/10，t＝3/7
(1)か(2)に代入して、OP＝(2/5)b＋(3/10)c

＞OPをベクトルで表すまではできたと思うのですが、
＞ 三角形の面積をどうやって求めればいいのかが分かりません。
OA・OP＝a・{(2/5)b＋(3/10)c}＝(2/5)a・b＋(3/10)a・c＝0
|OP|^2＝|(2/5)b＋(3/10)c|^2
＝(4/25)|b|^2＋2・(2/5)・(3/10)b・c＋(9/100)|c|^2
＝(4/25)・25＋0＋(9/100)・25
＝4＋(9/4)
＝25/4　より、|OP|＝2/5

cos∠AOP＝OA・OP/|OA|・|OP|＝0から、∠AOP＝90°より、
△OAPは直角三角形だから、
面積＝(1/2)・OA・OP＝(1/2)・5・(5/2)＝25/4

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます！
参考にさせていただきます。

回答No.2

ereserve67

a,b,cについては

（☆）a・b=b・c=c・a=0，|a|=|b|=|c|=5

が成り立つことに注意します．

OP=(2/5)b+(3/10)c

まではできたんですね．（☆）に注意すると

OP^2=(4/25)|b|^2+(9/100)|c|^2

=4+9/4=25/4

(1)OP=5/2=OA/2

AP=OP-a=-a+(2/5)b+(3/10)c

AP^2=|a|^2+(4/25)|b|^2+(9/100)|c|^2

=25+4+9/4=(100+16+9)/4=125/4

(2)AP=5√5/2=(√5/2)OA

(1)，(2)より△OAPはOA:AP:PO=2:√5:1の三角形だから余弦定理より

cos∠OPA=(1+5-4)/(2・1・√5)=1/√5

sin∠OPA=√{1-(1/√5)^2}=√{1-1/5}=2/√5

∴三角形OPAの面積=(1/2)OP・APsin∠OPA=(1/2)(5/2)(5√5/2)(2/√5)

=(5/4)5=25/4

お礼

質問に答えてくださってありがとうございます。
もう一度解き直してみたいと思います。
ありがとうございました！！