円に内接する四角形の問題

質問

四角形ＡＢＣＤは円に内接し、ＡＢ＝２、ＢＣ＝３、ＣＤ＝４、cos∠ＡＢＣ＝－１／４、を満たす。設問から、ＡＣ＝４、ＡＤ＝２、ＢＤ＝７／２、四角形ＡＢＣＤの面積Ｓ＝７√１５／４であることが分かりました。
ここで対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＰとおくと、sin∠ＡＰＢはいくらか？という問題なんですが、解答には

「∠ＡＰＢ＝θ」とおくと　
Ｓ＝１／２ＡＣ・ＢＤsinθ
が成り立つので．．．

とあります。どういう過程でこの式が導かれたのでしょうか？

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

rockman9さん、こんにちは。
＃１の方が詳しい説明してくださっていますが、

＞「∠ＡＰＢ＝θ」とおくと　
Ｓ＝１／２ＡＣ・ＢＤsinθ
が成り立つので．．．
とあります。どういう過程でこの式が導かれたのでしょうか？

確かに、いきなり出てくると、面くらいますよね。
もうちょっと説明が欲しいところです。

点ＰはＡＣとＢＤの交点ですから

四角形ＡＢＣＤ＝三角形ＡＢＤ＋三角形ＣＢＤ
と分けて考えましょう。
ちょうど、ＢＤですぱっと切った感じです。

△ＡＢＤの面積は、
底辺ＢＤ　高さはＡＰ*cosθになるのはいいでしょうか。
△ＡＢＤ＝(1/2)BD*AP*cosθ・・・(1)

△ＣＢＤの面積は、
底辺ＢＤ　高さはＣＰ*cosθですから
△ＣＢＤ＝(1/2)BD*CPcosθ・・・・(2)

ＡＣ＝ＡＰ＋ＣＰですから
(1)+(2)より
△ＡＢＤ＋△ＣＢＤ＝四角形ＡＢＣＤ
　＝(1/2)BD*AP*cosθ＋(1/2)BD*CPcosθ
　＝(1/2)BD*(AP+CP)*cosθ
　＝(1/2)BD*(AP)*cosθ

となって解答の式が出てきます。
線分ＢＤで２つに四角形を切った方が分かりやすいでしょうね。

補足

すいません。とても丁寧に説明していただいたのですが、高さがAP*cosθになる理由がどうしても分かりません。三角比の関係か何かを使ったのでしょうか？理解力が足りないもので…もしよろしければ教えてください！

回答No.3

kony0

凸四角形の場合なら・・・

S=△APB+△BPC+△CPD+△DPA

=(1/2)*PA*PB*sinΘ
+(1/2)*PB*PC*sin(180-Θ)
+(1/2)*PC*PD*sinΘ
+(1/2)*PD*PA*sin(180-Θ)

=(1/2)sinΘ*(PA*PB+PB*PC+PC*PD+PD*PA)
=(1/2)sinΘ*(PA+PC)(PB+PD)
=(1/2)*AC*BD*sinΘ

凹四角形の場合も、同様に４つの△を考えて、加減すれば同じ結果が出てくると思います。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

assamtea

こんばんは。

なにが分からないのかが良く分かりませんが、

＞　「∠ＡＰＢ＝θ」とおくと　
＞　Ｓ＝１／２ＡＣ・ＢＤsinθ
＞　が成り立つので．．．

これがわからないと言う事でしょうか？

でしたら、四角形ＡＢＣＤの面積は、三角形ＡＢＣ＋ＡＣＤとなるため
二つの三角形の底辺をＡＣとした場合、それぞれの高さを足した物は、
頂点ＢからＡＣへの垂線と、頂点ＤからＡＣへの垂線を足した物となる
から、絵を描けばすぐに分かりますが、Ｂから下ろした垂線を延長した
ものと、頂点Ｄを通ってＡＣと平行な線を引いたところの交点をＦとす
ると、二つの三角形の高さの合計はＢＦになります。

今、∠ＡＰＢ＝θなので、∠ＤＰＣ＝θとなります。
また、∠ＤＦＢ＝９０度だから、∠ＢＤＦ＝（１８０度－θ）となるため
sin∠ＢＤＦ＝sin（１８０度－θ）＝sinθとなり
Ｓ＝１／２（ＡＣ×ＢＤsinθ）になります。

お礼

ありがとうございます！