四面体の面積

質問

四面体OABCについて、OA=BC=a,OB=CA=b,OC=AB=cとする。
△AOB,△BOC,△COAの内心(内接円の中心)をそれぞれD,E,Fとする。
このとき、四面体OABC,四面体ODEFの体積をそれぞれV,V'とする。
a=(b+c)/3をみたしながら四面体OABCをいろいろつくるとき、V'/Vの最大値を求めよ。

とりあえずV'/Vをbcだけで表そうと思ったのですが、どうすればいいのかわかりません。
どなたか解答をよろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

V=(1/6)OA・(OB×OC)
となることは分かっているのだろうか？
それから
OD=(aOA+bOB)/(a+b+c)
これもちゃんと分かっているのかな？
それから
OD・(OE×OF)
をOA・(OB×OC)を使って表せますか？
これだけできれば
V'/V=2abc/(a+b+c)^3
がわかると思う。あとはa=(b+c)/3を代入して、相加相乗平均の関係を使えば答えにたどり着くでしょう。

お礼

無事に解けました。
解説ありがとうございます。