無理関数の積分です。

質問

∫√(4+x/4-x)dx（√4+x / √4-x　ではなく、ひとつの√の中に4+x/4-xがあるかんじです）
という問題なのですが、分母と分子で√4+x 、 √4-xと上下に分けるわけにもいかず
どういう風に計算するべきなのかがわかりません。
√(4+x/4-x) ＝ ｔと置いて計算するのだとは思いますが、
どうもうまくいきません。
計算過程含めご教授していただける方がいらっしゃいましたら
宜しくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

√の内部が≧0なので
(4+x)/(4-x)≧0　つまり　(x+4)/(x-4)≦0
∴ -4＜x≦4
という条件があることになります。
この条件の範囲では
4+x＞0,4-x≧0
となりますので
＞√4+x 、 √4-xと上下に分けるわけにもいかず
上、下に分けても問題ありません。
√{(4+x)/(4-x)}=(4+x)/√(16-x^2)
=x/√(16-x^2) + 4/√(16-x^2)
=(I1)'+(I2)'
(I1)'={-√(16-x^2)}'
（'は微分の記号です）
I2はx=4sin(t)の置換をすればできるでしょう。

お礼

分けてもいいんですね。
勝手な先入観でダメなものだとばっかり思っていました。
丁寧な解説ありがとうございます。

回答No.1

KappNets

公式集で「一次無理関数の不定積分」という項に沢山載っている中の一つで、難解なので自分で解くよりも見た方が早い。答えは
-[(4-x)*(4+x)]^(1/2)+8*arcsin{[(4+x)/8]^(1/2)}

お礼

公式であるんですか。。
暗記も必要ということですね。
ありがとうございます。