無理関数を含む積分

質問

曲線(x^2-2)^2+y^2=4で囲まれた部分の面積を求めよ。という問題で、

S=4∫0→2x√(4-x^2)dxになり、
√(4-x^2)=tとおくと、4-x^2=t^2、ゆえに　-2xdx=2tdt
よって、S=-4∫2→0t^2dtと解説にのっているのですが、
4-x^2=t^2以降がわかりません。
どなたか解説おねがいします。

回答No.1

info222_

>S=4∫0→2x√(4-x^2)dxになり、
>√(4-x^2)=tとおくと、4-x^2=t^2、
>ゆえに　-2xdx=2tdt
>よって、S=-4∫2→0t^2dtと解説にのっているのですが、
>4-x^2=t^2以降がわかりません。

4-x^2=t^2
両辺の全微分をとると
-2xdx=2tdt
となることはわかりますか？

-2で割ると
xdx=-tdt

t=√(4-x^2), xdx=-tdt であるから
x√(4-x^2)dx=√(4-x^2)・xdx=t・(-tdt)=-t^2 dt

また、x:0→2のとき　t:2→0 なので

S=4∫[0→2] x√(4-x^2)dx
=4∫[2→0] -t^2 dt
=-4∫[2→0] t^2 dt

となります。

お分かりになりませんか？

お礼

全微分は勉強しておきます。-t^2 dtになる説明ありがとうございます。