この積分の問題教えてください

質問

この問題の答えが無いので教えてください。
自分なりに解いたのですが、合ってるでしょうか？

∫[0,π/2]　1 / sinx+cosx dx

tan(x/2)=t　とおくと、
dx=2/(1+t^2) dt
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
sinx=2t/(1+t^2)
となる。

置換した後の積分範囲は、
x｜0→π/2
t｜0→ 1

∫[0,π/2]　1 / sinx+cosx dx
= -2∫[0,1]　1 / t^2-2t-1 dx
　　分母を平方完成して
= -2∫[0,1]　1 / (t-1)^2-2 dx
　公式：∫[1 / x^2-a^2] = 1/2a log｜x-a/x+a｜なので
=1/√2 log｜(-√2-1) / (√2-1)｜

logの中が汚いかんじで合ってるか不安です。
教えてください。

回答No.1

noname#108210 · ベストアンサー

合っていると思います。
最後、
=1/√2 log｜(√2+1) / (√2-1)｜
の方がカタチがいいかな。

回答No.2

spring135

計算は合っています。
最後のところ
1/√2 log｜(-√2-1) / (√2-1)｜
=1/√2 log((√2+1) / (√2-1))
分母を有理化するため(√2+1)を分子分母に掛ける
=√2log(√2+1)