定積分を求めようとしています。

質問

定積分を求めようとしています。
S(1-0){ x^2・(1-x^2)^1/2}dx
を求めようとしています。(分かりづらいですが、区間1-0におけるx^2・(1-x^2)^1/2の積分)

部分積分や置換積分など色々使って計算したのですが、
手元の計算では、
積分結果が
-2/3(1-x^2)^3/2 + 2/15(1-x)^5/2*1/2xとなって、分母にxが出てしまい、
結果値は∞と発散してしまいます。

多分単純な計算ミスだと思うのですが、計算方法をご教授願います。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#2です。

失礼しました。
A#2で
dx=cos(t)dtとすべき所をcos(t)を落としてしまっていました。

なので
>I=∫(0→π/2)sin^2(t)cos^2(t)dt
ですよね?
そのとおりです。
誤：I=∫(0→π/2)sin^2(t)cos(t)dt
正：I=∫(0→π/2)sin^2(t)cos^2(t)dt

この行以降の計算を以下のように訂正します。
I=∫(0→π/2)sin^2(t)cos^2(t)dt
2倍角の公式 sin2t=2sint*cost を適用して
=(1/4)∫(0→π/2)sin^2(2t)dt
更に公式　2sin^2(2t)=1-cos(4t)を適用して
=(1/8)∫(0→π/2) {1-cos(4t)}dt
cos(4t)の周期はπ/2なのでこの積分は0になるから
=(1/8)(0→π/2) 1dt
=π/16

回答No.4

muturajcp

x=cost
とすると
x^2=(cost)^2
(1-x^2)^{1/2}=sint
dx=-sintdt

∫(0～1){(x^2)(1-x^2)^{1/2}}dx
=-∫(π/2～0){(costsint)^2}dt
=∫(0～π/2){((sin(2t))^2)/4}dt
=∫(0～π/2){(1-cos4t)/8}dt
=π/16

回答No.3

muturajcp

x=cost
とすると
x^2=(cost)^2
(1-x^2)^{1/2}=sint
dx=-sintdt

∫(0～1){(x^2)(1-x^2)^{1/2}}dx
=-∫(π/2～0){(costsint)^2}dt
=∫(0～π/2){(1-cos4t)/8}dt
=π/16

お礼

ありがとうございます。

=-∫(π/2～0){(costsint)^2}dt
=∫(0～π/2){(1-cos4t)/8}dt
が理解できていません。

(costsint)^2は二倍角の定理を使って変形できますが、
1/4sin^2(2t)となるように思われます。

回答No.2

info22_

I=∫(0→1){(x^2)(1-x^2)^1/2}dx
x=sin(t)で置換
x:0→1,t:0→π/2,dx=cos(t)dt,(1-x^2)^1/2=cos(t)(0<=t<=π/2)
I=∫(0→π/2)sin^2(t)cos(t)dt
=(1/3)sin^3(t)|(0→π/2)
=(1/3)(1-0)
=1/3

お礼

ありがとうございます。
x:0→1,t:0→π/2,dx=cos(t)dt,(1-x^2)^1/2=cos(t)(0<=t<=π/2)
I=∫(0→π/2)sin^2(t)cos(t)dt
が理解できていません。

I=∫(0→π/2)sin^2(t)cos^2(t)dt
ですよね?

回答No.1

Tacosan

定石通り置換積分すればいいのでは?