立方根を含む積分です。

質問

立方根を含む積分です。
大学の科目試験対策の過去問をやっていますが、解答がありません…orz

文系脳なのでいつものごとく自信がもてないので、ご意見を御願いします。

∫[8 27] 1/(x-x^(1/3))dx

分子分母にx^(2/3)をかけます。
=∫[8 27] x^(2/3)/(x^(5/3)-x)dx
=∫[8 27] x^(2/3)/x(x^(2/3)-1)dx

x^(2/3)-1=t

dt/dx=(2/3)x^(-1/3)=2/3x^(1/3)
dx=(3x^(1/3)/2)*dt

∫[3 8] x^(2/3)/x(t) * (3x^(1/3)/2) * dt
=∫[3 8] {x^(2/3) * 3x^(1/3)}/2xt * dt
=∫[3 8] {3x}/2xt * dt
=∫[3 8] 3/2t * dt
=∫[3 8] 3/2 * 1/t * dt

=[3/2 * log|t|][3 8]
=3/2{log|8|-log|3|}

=3/2log|8/3|

以上ですが、どうでしょうか？考え方はおかしくないと思うのですが…

回答No.1

proto · ベストアンサー

一応合っているようだけど、分子分母にx^(2/3)を掛けたところで、その後やたら複雑にしてしまう印象を受ける。

素直に
　　x^(1/3) = t
と置いて、
　　x = t^3
　　dx = 3t^2 dt
より
　　∫{1/(x-x^(1/3))}dx = ∫{3t/(t^2-1)}dt
と変換する方がすっきりしないだろうか？

お礼

”x^(1/3) = t”
何でそれに気付かなかったのでしょうかね…

積分のセンスがなくて困ります。
どうも有り難うございました！

※先に解答いただいたprotoさんを
ベストアンサーにさせていただきます。

回答No.2

Mr_Holland

＞以上ですが、どうでしょうか？考え方はおかしくないと思うのですが…

　おかしくありません。正しい答えが導かれていると思います。

　ただし、美しく導かれているかと言えば、少々難があります。
　最初に被積分関数の分母・分子に　x^(2/3)　をかけて変数変換をしていますが、次のようにすると、分数の累乗を消すことができ、よりスマートに計算できると思います。

　変数変換：　ｔ＝ｘ^(1/3) を行う。
　　∴dx/dt＝3t^2
　　　ｘ＝２７のとき　ｔ＝３
　　　ｘ＝８　のとき　ｔ＝２

　（与式）
＝∫[2→3] 3t^2/(t^3-t) dt
＝∫[2→3] 3t/(t^2-1) dt
＝3/2 ∫[2→3] { 1/(t-1) + 1/(t+1) }dt　　←　部分分数分解を行う。

http://plaza.rakuten.co.jp/ultraprep/diary/200612210001/

＝3/2 { log(2) + log(4) - log(3) }
＝3/2 log(8/3)

　ちなみに、最後の対数の中の絶対値は　８／３＞０　なので　不要ですよ。

お礼

ご指導有難うございます。

最近、微分も人生もスマートじゃないっすよ…
もうちょっと数学的センスが欲しいこの頃です。