積分計算

質問

問題
∫ [2, 3] (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )dx

定積分をする以前に∫ (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )dx　の計算に難儀しています。

いろいろな方法で計算してみましたがどれも途中で行き詰まってしまいます。
例えば

∫ (6x^4 + 3x^2 -1)/ x (2x^2 - 1 )dx

x^2 をuとする。du/dx = 2x dx = du/2x

∫ (6u^2+ 3u -1)/ x(2u-1 ) du/2x
∫ (6u^2+ 3u -1)/ 2x^2 (2u-1 ) du

∫ (6u^2+ 3u -1)/ 2u (2u-1 ) du
½ ∫ (6u^2+ 3u -1)/ u (2u-1 ) du
½ ∫ 3(2u^2+u)-1 / 2u^2-u du

この様な感じになってしまいます。

この問題はどの様に積分したらいいのでしょうか？

又この様な問題ではまずどこに目を向けたらいいのでしょうか？
普段分数を積分する時は分母を微分して分子になるか、とかそういう事をまず最初に考えるのですがこの様な問題ではどこに目を向けたらいいのでしょうか？

質問ばかりですみません、どなたか教えて頂けたら助かります。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。
ANo.1のコメントについて

部分分数分解は数学IIの恒等式のところで学習する内容です。
なので積分以前の学習事項ですから,そこに戻って復習してください。
そうすればあなたのような非効率な部分分数の分解の仕方はしないはずです。
非効率なやり方は時間がかかる だけでテストや受験では致命的となります。
本来の正しいやり方をマスターしてください。

(6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )= (1/2)(6x^4 + 3x^2 -1)/ (x (x^2 - 1/2 )) << xの恒等式
6x^4 + 3x^2 -1)/ (x (x^2 - 1/2 ))=ax+b+ c/x + (dx+e)/(x^2-1/2) << xの恒等式
とおける。
両辺に x (x^2 - 1/2 ) をかける。
6x^4 + 3x^2 -1= (ax+b)x(x^2 - 1/2 )+ c(x^2 - 1/2 ) + x(dx+e) << xの恒等式
6x^4 + 3x^2 -1=ax^4+bx^3+(c+d-a/2)*x^2+(e-b/2)x-c/2 << xの恒等式
xの同じ次数係数同士が等しい。
a=6, b=0, c/2=1, e-b/2=0, c+d-a/2=3
∴a=6, b=0, c=2, d=4, e=0
∴ (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )= (1/2)(ax+b+ c/x + (dx+e)/(x^2-1/2))
=3x+1/x+4x/(2x^2-1)
と部分分数分解が得られる。
実は被積分関数が奇関数であることを使えば 最初から b=e=0 としてよく
(6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )= (1/2)(ax+ c/x + dx/(x^2-1/2))
これなら暗算で a=3, c=2, d=4 が求まるだろう。
ここでは考え方を理解するようにしてください。
(自己流の計算はやっても意味がないのでこだわらないこと。)

お礼

詳しく説明して頂き有り難うございます。
数学で行き詰まる度に毎回基礎固めが出来ていない事を痛感します。

まずは説明して頂いた内容、部分分数分解について理解を深めたいです。
何度も丁寧にお答え頂き有り難うございました。

回答No.1

info222_

>定積分をする以前に∫ (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )dx　の計算に難儀しています。
>又この様な問題ではまずどこに目を向けたらいいのでしょうか？

まず被積分関数を部分分数分解するのか定石です。
(6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )=3x+1/x+ 4x/(2x^2-1)

I=∫ [2,3] (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )dx
=∫[2,3] (3x+1/x+ 4x/(2x^2-1) ) dx
=∫[2,3] (3x+1/x+ (2x^2)' /(2x^2-1) ) dx
=[3x^2/2+ln|x|+ln|2x^2-1| ] [2,3]
=15/2+ln(3/2)+ln(17/7)
=15/2 +ln(51/14) ... (Ans.)

お礼

簡単に解けてしまいびっくりです。
ひとつ分からないところがあります。

最初の
＞(6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )　=3x+1/x+ 4x/(2x^2-1)　がどうしてそうなるのか分かりません。
私がやると

(6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )
= [6x^4 / (2x^3 - x )] +[ 3x^2 / (2x^3 - x )] - [1 / (2x^3 - x )]
=[ (6x^3 + 3x) /(2x^2 -1) ]- [1/(2x^3-x)]
などとなってしまうのです。

申し訳ないですがお時間ありましたら

(6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )　→　3x+1/x+ 4x/(2x^2-1)　の途中式を見せて頂けませんか？

宜しくお願い致します。

補足

何度もすみません、違う考え方でやってみたのですが。。。

＞(6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )
=3x+1/x+ 4x/(2x^2-1)

(6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )

= 3x + (6x^2-1)/ (2x^3-x)
=3x+ [6x/(2x^2 -1)] - [1/ (2x^3 - x )]

見せて頂いた式に近づきましたがまだ同じ式にはなりません。。。