積分の問題です。

質問

積分の問題です。

∫√((x+1)/(x-2)) ・3/x dx
※3/xはルートに含まれない

の解き方がわかりません。

ルート内で分母・分子にx+1を掛けてみたりなどしたのですが、
行き詰りました。
よろしくお願いします。

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

オーソドックスですが、( x + 1 )/( x - 2 ) = t^2 と置けば t に関する有理関数の積分になります。後は部分分数分解です。
　　　∫√{ ( x + 1 )/( x - 2 ) }*(3/x) dx
　　　= ∫-18*t^2/{ ( 1 + 2*t^2 )*( 1 + t )^2*( 1 + t ) } dt
　　　= ∫-18*t^2/{ ( 1 + 2*t^2 )*( 1 + t )^2*( 1 + t ) } dt
　　　= ∫[ -(3/2)/( t - 1 ) + 4*t/( 1 + 2*t^2 ) - t/( 1 + t )^2 - 4/( 1 + 2*^2t ) + 5/( 1 + t )^2 ] dt

お礼

( x + 1 )/( x - 2 ) = t^2 の置換も試みたんですが、dx=の形に変形できないと思い途中でやめてしまいました。

ありがとうございます。おかげで解けました。

回答No.2

inara1

ANo.1の式変形は間違っていますが、(x+1)/(x-2) = t^2と置換　→　部分分数分解　は合っているはずです。