無理関数の定積分

質問

よろしくお願いします。
　f(x)=∫｛m～n｝(1 － a * x^2 + b * x + c) ^0.5 dx の定積分
　の計算法をご教示ください。

1) f(t)=∫｛mt～nt｝(1 - t) ^ 0.5 dt
2) f(u)=∫｛mu～nu｝(a * u^2 + b * u + c) du
---------------------
2) より　f(u) = [(a/3) * a^3 + (b/2) * b^2 + c*c ] {mu1 ～ mu2｝
但し　mu1 = a * mu1^2 + b * mu1 + c
mu2 = a * mu2^2 + b * mu2 + c

1) より　f(t) = [(3/2) * (1-t) * t ^ (3/2) * (1-t) ^0.5] {mt1 ～ mt2}
但し　mt1 = (1-mt1) ^ 0.5
mt2 = (1-mt2) ^ 0.5
----------------------
f(x) = f(t) * f(u)

a) どこが間違っているのか、どこをどのように直せばよいのでしょうか。ご教示お願いいたします。
b) ３次グラフ ( y=a*x^3+ b*x^2+ c*x +d )の単調変化範囲内のグラフの長さを求めようとしているのですが、
上記の考え方でよろしいのでしょうか。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

間違っていない箇所を探すのが困難な状況なので、
どこを直せば？と言われても返事に困ります。

まず、f(x) の定義が、
f(x) = ∫｛mx～nx｝ (1 - ax^2 + bx + c) ^0.5 dx
の間違いなんだか、
f(x) と書いたのは気の迷いで、定数関数で良いんだか
すらハッキリしない。

f(x) = ∫｛m～n｝ (1 - ax^2 + bx + c) ^0.5 dx
としたのなら、t を代入しようが、u を代入しようが、
f(t) = f(u) = ∫｛m～n｝ (1 - ax^2 + bx + c) ^0.5 dx
なので、勝手に
f(t) = ∫｛mt～nt｝ (1 - t) ^ 0.5 dt とか
f(u) = ∫｛mu～nu｝ (au^2 + bu + c) du とか
置くことはできない。
置いたら、定義ではなく、方程式になってしまう。

f(x) = ∫｛mx～nx｝ (1 - a x^2 + b x + c) ^0.5 dx
の間違いであったとしても、
f(ｔ) = ∫｛mｔ～nｔ｝ (1 - a x^2 + b x + c) ^0.5 dx
f(u) = ∫｛mu～nu｝ (1 - a x^2 + b x + c) ^0.5 dx
なので、f(t), f(u) を勝手に定義することはできない。

百万歩譲って
f(x) = ∫｛mx～nx｝ (1 - ax^2 + bx + c) ^0.5 dx
g(t) = ∫｛mt～nt｝ (1 - t) ^ 0.5 dt
h(u) = ∫｛mu～nu｝ (au^2 + bu + c) du
で納得したとしても、
f(x) = g(t) ・ h(u) なんて、x,t,u の込み入った方程式に過ぎず、
式変形でも何でもない。　t,u を x のどんな関数にすれば、
この式が恒等式になると言うのでしょう？

無茶苦茶です。

３次関数 y = ax^3 + bx^2 + cx + d のグラフの
単調変化部分の長さを求めようとしている のならば、
3ax^2 + 2bx + c = 0 の２解を α,β として、
L = ∫{α～β} √[ 1 + { 3a(x-α)(x-β) }^2 ] dx を
計算することになります。
これは、第二種楕円積分(しかも不完全積分)ですね。

お礼

大変遅くなりました。
下記説明で十分でした。
---------------------------------------------------
３次関数 y = ax^3 + bx^2 + cx + d のグラフの
単調変化部分の長さを求めようとしている のならば、
3ax^2 + 2bx + c = 0 の２解を α,β として、
L = ∫{α～β} √[ 1 + { 3a(x-α)(x-β) }^2 ] dx を
計算することになります。
これは、第二種楕円積分(しかも不完全積分)ですね。

回答No.1

Tacosan

その被積分関数は
√(ax^2 + bx+c)
と書いちゃダメなんだろうか? これでいいなら √ の中を平方完成させればよく, sin なり sinh なりを駆使すれば不定積分できるはず.
a) 「どこが間違っているのか」といわれてもねぇ. 全部違うものなんだから同じ関数記号を使っちゃいかんと思うし, なんでこの 2つを掛けて f(x) になると思ったのかも想像がつかない. f(u) も間違ってるしね.
b) 「普通にやればいい」んだけど... たぶん, 楕円関数が出てくる (よって計算できない) と思うよ.

お礼

ありがとうございました。