√のついた積分

質問

1) ∫√{(1+x)/(1-x)}dx
2) ∫√{(x-1)(3-x)}dx

この2つが分かりません。
1)はこの前に似たような問題があって
t=√{(1+x)/(1-x)}とおいてdxを求めてから計算すればいいのだと思うのですがうまくいきません。
回答お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>公式というのは∫f'(x)/f(x)dx=log|f(x)|のことですよね？
全く的はずれです。
部分積分の公式を学習して見えないですか？
∫uvdt = v∫udt - ∫v'{∫udt}dt
ここで、v=2t, u=-2t/(t^2 +1)^2
∫udt = 1/(t^2 +1), v'=2
を適用してみてください。

回答No.4

info22

(2)
闇雲に変数変換をしてもだめです。
>∫√(1-t^2)dt
これについては　t=sinθと変数変換すれば積分できます。
（cosの2倍角の公式適用）

(2)のヒント
積分の変数変換を順に行っていけばできます。
x=t+2 (t=x-2)
t=sinθ　（θ=arcsin t）
（cosの2倍角の公式適用）

あと一息、がんばってやってみてください。

お礼

解けました。
何度も説明していただき、ありがとうございました。
ずっとわからなかったので助かりました。

回答No.3

info22

#1の回答の返信の補足です。
>>t=√{(1+x)/(1-x)}
>xについてといてx=f(t)について微分dxをとって下さい。
これをやってください。

そうすれば
dx=f'(t)dt
I=∫t×f'(t)dtとなって、被積分関数　tf'(t)として次式が出てきます。
>-4(t^2)/(t^2 +1)^2になるのですか？

補足

ありがとうございます。1)は解けました。
2)は t=√{(x-1)(3-x)} とすると dx=±t/√(1-t^2)dt となり、
計算していくと ±(t√(1-t^2) - ∫√(1-t^2)dt) となりました。
(ここまでが合っているのかどうか不安なんですが・・・)
∫√(1-t^2)dtはどうやって計算すればいいのでしょうか。

回答No.1

info22

(1)
>t=√{(1+x)/(1-x)}
xについてといてx=f(t)について微分dxをとって下さい。
そうすると
I=∫-4(t^2)/(t^2 +1)^2 dt
となります。その後は
{1/(t^2 +1)}'=-2t/(t^2 +1)^2
の関係を利用して部分積分の公式を使って積分してください。

(2)の方は上記を参考にご自分でおやりください。

補足

公式というのは∫f'(x)/f(x)dx=log|f(x)|のことですよね？
{1/(t^2 +1)}'=-2t/(t^2 +1)^2の関係をそのまま
{1/(t^2 +1)}'/{1/(t^2 +1)}とすると-2t/(t^2+1)となるのですが、どう考えれば-4(t^2)/(t^2 +1)^2になるのですか？