2^(n-1)とn!との大小関係

質問

2^(n-1)とn!との大小関係を調べたいのですが、
帰納法ではなく、2項定理で簡単に証明できるような気がするのですが、自力でできずに困っています。

ヒントだけでもいいので教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

tarame · ベストアンサー

二項定理を使うなら、こうかな。
２^(n-1)
＝(1+1)^(n-1)
＝Σ[k=0,n-1] (n-1)!/{k!(n-k-1)1}
ここで、k!(n-k-1)!≧1 より　(n-1)!/{k!(n-k-1)!}≦(n-1)! だから
２^(n-1)
≦Σ[k=0,n-1] (n-1)!
＝(n-1)!×n＝ｎ!
よって、２^(n-1)≦ｎ!

お礼

おおっ！
こんなに簡単に・・・！
悩んでたのがバカみたいです。
本当にどうもありがとうございました。
助かりました！

回答No.2

info22

n=1では
2^(n-1)=2^0=1
n!=1!=1

n=2では
2^(n-1)=2^1=2
n!=2!=2

n=1,2では　2^(n-1)=n! ですね。

n≧3では 2^(n-1)<n!
これは以下のようにして証明できます。
n!=1*2*3*4*...*n
=2*3*4*5*...*n
=2*(2+1)*(2+2)*(2+3)*...*(2+(n-2)) ←　(2+k)のkを0とおいて過少評価
>2*2 *2 *2 *...*2 ←2が(n-1)個の積
=2^(n-1)

数学的帰納法でも、n=(k+1)とした時、最後の項を2と過少評価する手法で
証明できるでしょう。

お礼

御回答どうもありがとうございます。

=2*(2+1)*(2+2)*(2+3)*...*(2+(n-2)) ←　(2+k)のkを0とおいて過少評価
>2*2 *2 *2 *...*2 ←2が(n-1)個の積

よく見ると結構粗い評価で証明ができてしまうのですね。
2項定理にこだわり過ぎていて全然見えませんでした。
どうもありがとうございました。

何となく2項定理でもサクッとできそうな感じがしたのですが・・・。
私は2^nとn!を見た瞬間、「これはもう2項定理しかない！」と確信したのですが、info22さんの解法を見てまた私の見当違いだったような気がしてきました。

2項定理
2^(n-1）=(1+1)^(n-1)=Σ[k=0→(n-1)](n-1)Ck
=Σ[k=0→(n-1)]{(n-1)!/(k!(n-1-k)!}

やはりより複雑な感じになってしまって2項定理では無理なような気がしてきました。

この度はどうもありがとうございました。

回答No.1

age_momo

2項定理ではなく、両方をlog[2]の対数をとってはだめなんですか？
n>2の時、
log[2]2^(n-1)=n-1
log[2]n!=0+log[2]2+log[2]3+…log[2]n>log[2]2+log[2]2+log[2]2=(n-1)log[2]2
より
log[2]2^(n-1)≦log[2]n!
(等号成立はn=2の時)

お礼

御回答どうもありがとうございます。

>2項定理ではなく、両方をlog[2]の対数をとってはだめなんですか？

いえいえ、全然いいですよ。
偶々自分は帰納法と2項定理の解法しか思い浮かばなかっただけですので、そう書いただけです。

最初見た時、とてもうまい解法だな思ったのですが、info22さんの解法と比べてみると本質的には同じ解法のような・・・。
あえてlogをとる必要はなかったかもしれないですね。
いろいろ勉強になりました。
どうもありがとうございました。

また2項定理を利用した解き方などを思い付きましたらコメントください。よろしくお願いします。