2^n>n^n

質問

2^n>n^nが成り立つ自然数の範囲を示せ。一応ｋ＞２、４＜ｋとでましたが、それを数学的帰納法でしょうめいするように言われたがわかりません。おしえてください。

回答No.4

zero-fighter · ベストアンサー

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という表示が出ます。なので、「どこがわからないか」明記して欲しかったりもします。
一応、簡単に書きますと、Ｋ＝０～４の場合は実際に計算し、５以降においてはｎ＝ｋのとき成立すればｎ＝ｋ＋１の時に成立する、ということを言えばよいのです。

お礼

すいませんこんどからきおつけます。詳しく質問するとnが５以降のときｎ=kのとき２＾ｋ＞ｋ＾２と仮定。
n=k+1証明　２＾（ｋ＋１）－（ｋ＋１）＾２＝２＊２＾ｋ－（ｋ＋１）＾２＞２＊ｋ＾２－（ｋ＋１）＾２＝ｋ＾２ー２ｋ－１とでたが、それが０よりおおきければしょうめいできるのですがｋ＜１－√２、１＋√２＜ｋというｋの解が求まるが、答えと矛盾してしまいます。なにがちがうのかおしえてください。

回答No.3

uranasu

n=3のとき2^n　＜　n^n　が成り立つ。
実際８<２７である。

ｎ≧３のとき
２＾（ｎ＋１）＝２＊（２＾ｎ）＜２＊（ｎ＾ｎ）＜ｎ＊（ｎ＾ｎ）＝ｎ＾（ｎ＋１）＜（ｎ＋１）＾（ｎ＋１）となり、
２＾（ｎ＋１）＜（ｎ＋１）＾（ｎ＋１）
となる。

回答No.2

noname#24477

多分、問題も答えも間違いです。
問題は

2^n>n^2

でしょう。
そして答は
ｋ＜２，４＜ｋ
だと思います。

補足

そうでした。すいません質問まちがえました。こたえはそうでるんですが証明はどうすればよいですかよろしければおしえてください

回答No.1

zero-fighter

答えが違っているようです。
ｎ＝４のとき、2^4=16 4^4=256ですので、
ｎ＝１のときだけ成立します。
ｎ＝１のとき、ｎ＝２のとき、ｎ＝３のときを証明してください。
そして、n=k(k>2)のときn^n>2^nであるとき（＝「n^n-2^n>0」と同じ）、n=k+1の場合、
(n+1)^(n+1)-2^(n+1)>0を証明すればよいです。
n+1>2、(n+1)^n>n^nを使えば可能です。

お礼

n=5,6,7～も成立するんですがそちらはどうしょうめいするんですか？あとここでは０も自然数とします。よろしかったらおしえてください