{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

質問

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

回答No.6

guzuryu · ベストアンサー

#3、#5です。

＞=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
＞=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう？

＞でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n)，高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0～n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] （但しΔ=1/n）
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1～nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0～nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF，上限関数の面積をG(n)，階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 （但し Δ=1/n）
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

回答No.5

guzuryu

#3です。

＞n→∞にする前の段階でどう上限関数を見つけて挟み打ちして、収束に持っていくのが本来のやり方だろうと思いますが、…

n=7でグラフを書いてみたら、上限関数の予想がつきましたので報告します。

前半
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

k番目
{√(1+2+…+k)}/n ＝ (1/√2)√{(k/n){(k/n)+(1/n)}
の(1/n)を無視した関数
f(x)＝(1/√2)√x^2
は右端型よりちょっと下を通り下限関数になっています。
予想した上限関数は下限関数を左に(2/n)動かしたグラフで、
g(x,Δ)＝(1/√2)√(x+Δ)^2 （但しΔ＝2/n）
左端型よりちょっと上を通ります。
このy＝f(x)とy＝g(x,Δ)の間に、幅(1/n)で高さ{√(1+2+…+k)}/nのn個の棒グラフが、入る…と予想します。
（nを有限のまま）y＝g(x,Δ)を積分すると(√2/2)(1/2+Δ)になります。
つまり面積は√2/4以上(√2/2)(1/2+2/n)以下になります。
n→∞で面積は√2/4に収束します。（たぶん）

後半
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

(1/n)を無視した関数
f(x)＝(1/√2)√(1 - x^2)
は左端型よりちょっと下を通り下限関数になっています。
予想した上限関数は単位円の部分を半径(1+Δ)倍にした円（正確には楕円）です。
g(x,Δ)＝(1/√2)√{(1+Δ)^2 - x^2} （但しΔ＝1/n）
で右端型よりちょっと上を通ります。
このy＝f(x)とy＝g(x,Δ)の間に棒グラフが、入る…と予想します。
（nを有限のまま）y＝g(x,Δ)を積分すると(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)＝{π(√2)(1+Δ)^2}/8になります。
つまり面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で面積はπ(√2)/8に収束します。（たぶん）

予想に対し前半はかなり自信あります。後半はちょっと不安です。

お礼

ありがとうございます。
しかし、違う考え方をしました。

前半=lim[n→∞] {√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2
=lim[n→∞] Σ[k=1,n] √{k(k+1)/2}/n^2
=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]√{k(k+1)/n^2}
= (1) とおくと、

lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]√{k/n}^2
≦(1)≦lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]√{(k+1)/n}^2
=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=2,n+1]{k/n}
=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

これで両辺は、
(1/√2)∫[0,1]√(x^2)dx=√2/4
ではさまれることになりました。

でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、もっと直接的かつ一般的な方法を模索しています。

回答No.4

info22

#1、#2です。

#3さんの指摘どおり前半について
お粗末な計算ミスがありましたので
A#1,A#2の訂正をしておきます。

A#1とその質問者さんの補足

前半
>区分積分法の一般項f(k/n)は
>(1/n)√(k(k+1)/2)=(1/√2)√((k/n)(1+(k/n)))=f(k/n)なので
正：=(1/√2)√((k/n)((1/n)+(k/n)))→(1/√2)√((k/n)^2)=(k/n)/√2
(∵n→∞で1/n→0)
=f(k/n)

>f(x)=(1/√2)√(x(1+x))
正：f(x)=x/√2

>lim[n → ∞]{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2
>=∫[0→1] f(x)dx=(1/√2)∫[0→1] √(x+x^2)dx
正：=(1/√2)∫[0→1] xdx

この後は質問者さんのお礼の補足に続きますが、
間違いなので削除ですね。
>=(1/8){6 - √2log(1+√2)}
>となりました。書物に書いていた答えとは異なる結果になりました。
それを受けたA#2の回答の上から4行は正しくないので無視して下さい。

質問者さんの計算も正しくないので
上からの計算の続き
　=(1/√2)[x^2/2](x=1)
=(√2)/4
最初に書いてあって質問の答えになりますね。

A#2の補足について
＞ところで、シグマの中身の(1/n)≒0としたところを数学的に厳密に書きたいと思ってずっと考えていますがいいアイデアが思いつきません。
もし厳密な書き方がありましたら教えて下さいませ。」

前半にも同じ (1/n)項が入ってきましたね。
#3さんも適当に 同様に　n→∞で 1/n→ 0になるので　最初から
1/nの項をゼロとして扱われているようですね。

n→∞にする前の段階でどう上限関数を見つけて挟み打ちして、収束に持っていくのが本来のやり方だろうと思いますが、今の所うまい上限関数がみつからないですね。

お礼

ありがとうございます。
No.3さんのおっしゃる通り計算ミスしていました。
何度もご迷惑をおかけして申し訳ありません。

シグマの中身の(1/n)の処理ですが、より一般に、f(k,n)をkとnの関数として、
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]f(k,n)
がどうなるか、考え続けているのですが、疑問は晴れません。
また、改めて質問させていただきたいと思います。

重ね重ねありがとうございました。

回答No.3

guzuryu

皆さんと違う結果になりました。

異なる部分は前半の計算で、k(k+1)をn^2で割るところです。

{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2
=Σ[k=1,n]√{k(k+1)/2}/n^2
=(1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]√{(k/n){(k/n)+(1/n)}

n → ∞のとき、(1/n) → 0ですので、

→(1/√2)∫[0,1]√{x^2}dx
・・・(中略)・・・
=√2/4

と「書物」と同じ結果になりました。

念のためエクセルシートでn=1000まで計算して見ました。

(1/8)*(6-SQRT(2)*LN(1+SQRT(2)))≒0.59419369・・・(a)
SQRT(2)/4≒0.353553391・・・(b)

{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 (n=1000の場合)
≒0.354259888

どちらかというと(b)に収束しそうです。

お礼

おっしゃる通り、当方の書きミス、計算ミスです。
ご迷惑をおかけして申し訳ありません。

ただ、(k/n)で表せない(1/n)を0にするのは感覚的にはわかるのですが、厳密な処理と、より一般的な考察の疑問が晴れません。

また改めて質問させてただきたいと思っています。

回答No.2

info22

前半
>=(1/8){6 - √2log(1+√2)}
>となりました。書物に書いていた答えとは異なる結果になりました。
積分の計算も間違いありませんし、この結果で合ってますね。

ということはあなたの手元の書物の答の方が間違っているようですね。

後半
>=(1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]√[(1 + 1/n) - (k/n){(k/n) + 1}]…(◆)
>となり、シグマの中身が(k/n)のみの式になりません。
>この後どうすればよいのでしょうか？
このΣは右端型の区分積分法ですが
Σを考えるときはnを非常に大きい整数定数と考えると
1/n<<1と考えて　1+(1/n)≒1 と評価します。
この評価は、Σとしては僅か小さくなりますが、区分積分法でn→∞にもって行ったときにはこの誤差はゼロになると考えられます。

問題は(◆)の式から区分積分法における被積分関数f(x)=√{1-x(x+1)}が
[0,1]の積分区間の範囲で定義されない範囲が存在する、つまり[0,1]区間での積分に変換できないということです。
【注】前半の区分積分法のf(x)=√{x(1+x)}は勿論、積分区間[0,1]で定義される関数ですから積分可能でした。

従って、Σのkの一般項の形をf(x)が[0,1]で定義されるように式を変形する必要があります。
kの一般項を√{(1/2)(k+1)(2n-k)},k=0～n-1
で表せます。kの範囲から左端型区分積分法になります。
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2
=Σ[k=0→n-1]√{(1/2)(k+1)(2n-k)}/n^2
=(1/√2)(1/n)Σ[k=0→n-1]√{(k/n)+(1/n)}{2-(k/n)}
区分積分法の被積分関数f(x)=√[{x+(1/n)}(2-x)]≒√{x(2-x)}
このf(x)は積分区間[0,1]で定義されていますので積分可能です。
→(1/√2)∫[0→1]√{x(2-x)}dx
↑の積分は自力でまずやってみて下さい。
積分すると
>{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π(√2)/8
の答の結果の「π(√2)/8」が出てきます。

お礼

ありがとうございます。
No.1のお礼で書いた最後の式を記述ミスしていました。すみません。書き直しと、再考慮します。

後半ですが、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2
=Σ[k=0,n-1]√{n(n+1)/2 - k(k+1)/2}/n^2
=(1/√2)(1/n)Σ[k=0,n-1]√[(1 + 1/n) - (k/n){(k+1)/n}]　…(1)
ここで、j=n-k+1とおいて、変数kを変数jに書き換えて、整理すると、
=(1/√2)(1/n)Σ[j=0,n-1]√{(j/n) + (1/n)}{2 - (j/n)}
見にくいので、jをkに書き換えて、
=(1/√2)(1/n)Σ[k=0,n-1]√{(k/n) + (1/n)}{2 - (k/n)}　…(2)

これでNo.2でいただいた回答の式と同じになりました。
シグマの中身が(k/n)のみの式になればよいのですが、そうはならないので、シグマの中身の(1/n)≒0とすると、
(1)は、
=(1/√2)(1/n)Σ[k=0,n-1]√{1 - (k/n)^2}　
→(1/√2)∫[0,1]√(1 - x^2)
=(1/√2)(単位円の面積÷4)
=π(√2)/8

(2)は、
=(1/√2)(1/n)Σ[k=0,n-1]√(k/n){2-(k/n)}　…(2)
→(1/√2)∫[0,1]√(2x - x^2)
=(1/√2)∫[0,1]√{1 - (x-1)^2}
=(1/√2)(単位円の面積÷4)
=π(√2)/8

ところで、シグマの中身の(1/n)≒0としたところを数学的に厳密に書きたいと思ってずっと考えていますがいいアイデアが思いつきません。
もし厳密な書き方がありましたら教えて下さいませ。

回答No.1

info22

> √2/4
> π√2/8
両方とも合っていますか？

解き方
区分積分法を使用すれば定積分になるので
区分積分法が適用できる形に変形して、被積分関数f(x)を求めれば
積分に持ち込める。

区分積分法は積分を初めて習うとき高校の授業等でやっているはずで、高校の教科書ならどんなものでも載っています。
区分求積法の基本式
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kubun-kyuuseki-hou.html

長方とも右端型の区分積分法を適用すればいいでしょう。

前半
区分積分法の一般項f(k/n)は
(1/n)√(k(k+1)/2)=(1/√2)√((k/n)(1+(k/n)))=f(k/n)なので
f(x)=(1/√2)√(x(1+x))
従って
lim[n → ∞]{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2
=∫[0→1] f(x)dx=(1/√2)∫[0→1] √(x+x^2)dx
= ... ←積分位できますね。まず自力でやってみて下さい。

後半も同様にf(x)を求めてから、積分になおし積分してください。

お礼

ありがとうございます。
n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2
=Σ[k=1,n]√{k(k+1)/2}/n^2
=(1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]√{(k/n){(k/n)+1}
→(1/√2)∫[0,1]√{x(1+x)}dx
=(1/√2)∫[0,1]√[{x+(1/2)}^2 - 1/4]dx
x+(1/2)=t/2とすると、
=(1/√2)∫[1,3](1/2)√(t^2 - 1)dt/2
=(1/4√2)(1/2) [t√(t^2-1) - log(t + √(t^2-1)] (t=1,3)
=(1/8√2){6√2 - log(3+2√2)}
=(1/8√2){6√2 - 2log(1+√2)}
=(1/8){6 - √2log(1+√2)}
となりました。書物に書いていた答えとは異なる結果になりました。

後半ですが、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2
=Σ[k=0,n-1]√{n(n+1)/2 - k(k+1)/2}/n^2
=(1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]√[(1 + 1/n) - (k/n){(k/n) + 1}]

となり、シグマの中身が(k/n)のみの式になりません。
この後どうすればよいのでしょうか？