8^nー7nー1が49の倍数である証明をせよ。

質問

8^nー7nー1が49の倍数である証明をせよ。

途中までも正しいのか？正しい証明方法を教えてください。

…8^k+1ー７kー7ー1
数学的帰納法として

回答No.2

deshabari-haijo · ベストアンサー

『数学的帰納法』で考えるのならば、次の通りです。

n=1のとき
8^1-7×1-1=0
であるから49の倍数

n=kのとき
8^k-7k-1=49m（mは整数）が成り立つとすると、
n=k+1のとき
8^(k+1)-7(k+1)-1
=8^k×8-7k-8
=(49m+7k+1)×8-7k-8（∵8^k-7k-1=49m）
=49×8m+56k+8-7k-8
=49×8m+49k
=49(8m+k)
よって、n=k+1のときも成り立つ

以上から、すべての自然数nについて、8^n-7n-1は49の倍数になります。

お礼

解答の仕方が数学的帰納法使う方法だったため選ばせて頂きました。ありがとうございました。途中までしか分からなかったので大変参考になります^_^

回答No.1

tmppassenger

取り敢えず n=1の時は、直接代入して 0になるから正しい。
n≧ 2の時は、二項定理から、

8^n = (1+7)^n
= 1 + 7(nC1) + { Σ[2≦k≦n] (7^k) nCk }
= 1 + 7n + 49 { Σ[2≦k≦n] (7^{k-2}) nCk }
である故、
8^n - 7n - 1 = 49 { Σ[2≦k≦n] (7^{k-2}) nCk } であり、この式の{ ... }の部分は整数であるから、8^n - 7n - 1は49の倍数である。

お礼

素早い解答をありがとうございます😊