大小関係

質問

実数の大小関係を複素数の範囲まで広げられないことを証明するにはどうしたらいんでしょう？
ヒントでもいいんでよろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

何を証明するのか、まず、その命題を確定しないと。

ひとつの集合上に、
体の公理を満たす四則演算と全順序とが定義され、
その四則と順序が両立条件
[1] a≦bならば任意のcに対しa+c≦b+c．
[2] a≦bならば0≦cであるcに対しac≦bc．
を満たすとき、その構造を「順序体」と呼びます。
例えば、実数は順序体です。

「実数の大小関係を複素数の範囲まで広げられない」
とは、実数を部分順序体として含むような全順序を
複素数体上に定義することはできないという意味です。

順序体上では、任意のxについて0≦x^2を証明する　←(＊)
ことができますから、複素数体は順序体にはなれません。

(＊)に挑戦してみて下さい。

回答No.4

arrysthmia

No.2 の [2] に a=0 を代入すると、
0≦b かつ 0≦c ならば 0≦bc となる。…[3]
これが、正×正＝正 を表す。

No.2 の [1] に b=0, c=(-1)a を代入すると、
a≦0 ならば 0≦(-1)a となる。
これを使って、[3] より、
x≦0, y≦0 ならば、xy=(-1)x・(-1)y≧0 となる。
これが、負×負＝正 を表す。

回答No.3

dkz

虚数単位をｉとします。
ｉを正の数（ｉ＞０）とすると、ｉ＾２＞０となる。（正＊正＝正）
ｉを負の数（ｉ＞０）とすると、ｉ＾２＞０となる。（負＊負＝正）

ところがｉ＾２＜０であるから、ｉは正でも負でもない。

であるから複素数は実数の大小関係に関与しない。

言葉使いはともかく、こんな感じで。

回答No.1

Tacosan

単純な大小関係でよければ広げることができますね.
他の演算との関係を考えなければ.