証明: ｎ≧4のとき、2＾ｎ＜ｎ！

質問

次の等式を証明せよ。
ｎ≧4のとき、2＾ｎ＜ｎ！

という問題があったのですが、これを帰納法を使わないで証明を与えるとするなら、どのような方法が考えられますか？
できれば参考書的でないものがいいのですが・・・。
チャートでは
2＾ｎ＜ｎ！⇔ｎ！/2＾ｎ＞1
と変形して解いていました。
きれいな形をしているだけにさまざまな方法があると思いますがどなたかご教授ください。

回答No.3

osaQ

ANo.2 は，ちょっとゴタゴタと書きすぎたかもしれません。

n!　＝　{ n・(n-1)・(n-2)・……・6・5 }・4・3・2・1
　　＞ { 2・2・2・……2・2 }・2・2・2・2　　＝ 2^n

4・3・2・1＝24 ， 2・2・2・2＝16 を利用しているため，
n≧4 で成り立つのです。
（例えば n＝3 だと　3・2・1＝6 ， 2・2・2＝8 なので
　２行目冒頭の「＞」が成り立ちません）

回答No.2

osaQ

ANo.1の解法と実質的には同じことですが，
こちらの方が直感的（何をやっているかがわかりやすい）かな，と……。

ｎ！ ＝ n・(n-1)・(n-2)・……・6・5・4・3・2・1
　　＝ { n・(n-1)・(n-2)・……・6・5 }・4・3・2・1
　　＞ { 2・2・2・……2・2 }・4・3・2・1
　　＝ 2^{n-4} ・ 24
　　＞ 2^{n-4} ・ 16
　　＝ 2^{n-4} ・ 2^4
　　＝ 2^n

お礼

ありがとうございます。
確かにこちらのほうが問題の式にの形にちかいですね。

回答No.1

zk43

2^n/n!=(2*2*…*2)/(1*2*3*4*5*…*n)
<(2*2*…*2)/(1*2*3*4*4*…*4)（分母の5以降をすべて4にした）
=(2*2*2*2)/(1*2*3*4)*(2*…*2)/(4*…*4)
=(2/3)*(1/2)^(n-4)
<1

お礼

なるほど。式を「すりかえる」のですね。
ありがとうございました。