{9^(n+1)-8n-9}/64になる証明

質問

{9^(n+1)-8n-9}　(n=正の整数)
という数字が64で割れることを二項定理を使って証明したいのですが、分かりません。

自分でやってみたところ、

(1+8)^n=……
↓
9^n-8n-1=64k
↓
9^(n+1)-8n*9-9=64k*9

というところまで、できましたが次何すればいいのかわかりません。

回答お願いします。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

え?
64k*9+64n = 64(9k+n).

お礼

理解できました。ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

#1 同様,
(1+8)^n=……
↓
9^n-8n-1=64k
↓
9^(n+1)-8n*9-9=64k*9
がどういう方針なのか見えない. 特に最初の式の右辺が「……」と隠されているために何をどうしたいのかがさっぱりわからない.
ここがきちんと見える形で書いてあって, (それが正しいとして) その下の式につながるのであればそこから先は簡単じゃないの? 両辺に 64n を加えれば終わりだよね.

お礼

回答ありがとうございます。

両辺に64nを加えると

9^(n+1)-8n-9=64k*9+64n

になりました。

ここから、

9^(n+1)-8n-9=64k

この式にどうやって変換するんですか？

回答No.2

hugen

9^(n+1)-8n-8n*8-9=64k*9

お礼

なるほど、なんとなくわかってきました

回答No.1

info22_

>{9^(n+1)-8n-9}　(n=正の整数)

>自分でやってみたところ、
>(1+8)^n=……
>↓
>9^n-8n-1=64k
どういう方針で何をしようとしているのか分からない。

n=1の時　{9^(n+1)-8n-9}=81-8-9=64
64で割り切れる。
n≧2の時
　{9^(n+1)-8n-9}=(1+8)^(n+1)-8n-9 ←2項定理で展開
=1+8(n+1)+64{Σ[m=2,n]mC(n+1)*8^(m-2)}-8n-9
=64{Σ[m=2,n]mC(n+1)*8^(m-2)}
　ここで　mC(n+1)=(n+1)!/{m!(n+1-m)!}
中括弧{ } 内は正の整数になるから与式は64で割り切れる。

以上から正の整数nに対して与式が64で割り切れることが証明できた。

お礼

説明不足ですいません。

あと、Σはまだ習ってないので、その説明分かりません（汗

回答ありがとうございます