f(n)=(1)^n+(2)^n+(3)^n+(4)^n

質問

nは自然数
f(n)=(1)^n+(2)^n+(3)^n+(4)^n
f(n)を5で割った余りをr(n)とする。
(1)r(n)は
g(n)=(1)^n+(2)^n+(-2)^n+(-1)^n
　を5で割った余りと等しいことを示せ。

(2)r(n)=0を満たすnをすべて答えよ。

(1)は
f(n)-g(n)=5t
と置いて、数学的帰納法で解くのが良いのでしょうか？

f(n)-g(n)=(3)^n+(4)^n-(-2)^n-(-1)^n=5t
n=1のとき
f(n)-g(n)=3+4+2+1=10 →　OK
n=kの時成立すると仮定して
n=k+1の時
(3)^(k+1)+(4)^(k+1)-(-2)^(k+1)-(-1)^(k+1)
=(3)^(k+1)+4{5t-3^k+(-2)^k+(-1)^k}-(-2)^(k+1)-(-1)^(k+1)
=-3^k+20t+6(-2)^k+5(-1)^k
ここで
-3^k+6(-2)^k
を帰納法で5の倍数と証明して

f(n)-g(n)=5t
と証明できる。
他の証明方法はないのでしょうか？

(2)はどのようにすればよいか分かりません。

教えてください。
お願い致します。

回答No.1

owata-www

合同式を使えば簡単に出ます。
a^n≡(p-a)^n≡(a-p)^n (mod p)…(1)です。教科書に載ってませんが、使ってOKです。

使わなくても、
4^n＝(5-1)^n＝5^n+nC1*5^(n-1)*(-1)+…+nC(n-1)*(-1)^(n-1)*5+(-1)^n
なので、５で割った余りは+(-1)^nになります。（同様にして(1)も証明できます。）

(1)より、(2)はnが奇数のときは成り立ちます。
偶数のとき、r(n)は2*(2^n+1)、つまり2^n+1を５で割った余りになります。nが偶数のときは4,16,64…あとはわかりますね？

お礼

回答ありがとうございました。