An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)について…（続く）

質問

【問題】An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)につい数列{An}は単調増加であることを示せ。すなわちAn<A(n+1)を示せ。またAn<3であることも示せ。
（※ただし,二項定理を利用せよ。）
よろしくお願いします。
二項定理にあてはめてみたのですが…そっからさっぱりです＾＾；

回答No.2

tksmsysh · ベストアンサー

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)＞An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
　＜1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
ここで、
1/n!＝1/1*2*3*・・・*n＜1/2^(n-1)
ですから、
An＜ 1 +1+1/2^(2-1)+1/2^(3-1)+・・・+1/2^(n-1)
＝ 1 +{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
＝ 1 +2{1-(1/2)^n}
＝ 3 -(1/2)^n
＜ 3
となります。
limをとってやれば、自然対数の底e<3であることが分かりますね。
また、A1=(1+1/1)^1=2であることから2<eでもあります。
e<3を示す時に、もう少し精度を増してe<2.75にすることもできます。

回答No.1

koko_u_u

>二項定理にあてはめてみたのですが…そっからさっぱりです＾＾；

イキナリ一般項に挑戦してはいけません。