二項係数の問題

質問

高校3年、受験生です。
かれこれ三時間考えても分からない問題があるので質問させてください。

問
nを自然数、kを1≦k≦nを満たす自然数とするとき
(n/k)^k≦C(n,k)≦n^k/2^(k-1)
が成り立つことを示せ。
ただし、C(n,k)は二項係数である。

はじめにnに関する数学的帰納法で試しましたが出来ませんでした。
次にkに関する数学的帰納法をためしましたが出来ませんでした。
大小比較に関して、引き算を使って0以上する方法、
割り算を使って1との大小を比較し元の数の大小を比較する方法、
どちらもそれぞれnまたはkに関する数学的帰納法を用いましたがダメでした。

こうなると今の私には他に手だてが思いつきません。
もしかすると、帰納法を使わずして証明できるのでしょうか。

ヒント等回答していただければ幸いです。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

C(n, k) = n!/[k!(n-k)!] = n(n-1)...(n-k+1)/[k(k-1)...1]
=[n/k][(n-1)/(k-1)]...[(n-k+1)/1]
の各因子を適当に評価する.

お礼

分かりました＾＾；
ありがとうございました。