０．９９９９９・・・・が１に収束するというなら、２に収束するとはいえないのでしょうか？

質問

質問タイトルのような疑問は、数aに「収束する」＝「限りなく近づく」＝「？」の、？をとらえられていないから生じたと思われます。
「？」のわかりやすい言い換えを教えてください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

「収束する」＝「限りなく近づく」＝「二つの数の差がいくらでも小さくなる」＝「どんなに小さな正の数よりも、二つの数の差はさらに小さくなる」
です。

大学に行くと微積の最初のところで習います。ε-δ論法ってやつです。
記号で書くとn→∞のときxがaに収束するとは、
　　lim[n→∞]{x} = a
　　　　⇔ ∀ε>0,∃N_0 s.t. n>N_0⇒|x-a|<ε
ということになります。
(この場合、暗黙のうちにxはnの関数っていうことで書いてます)

質問の例で言うと1と0.999…との差はどんなに小さな正の数よりも小さくなりますが、2と0.999…との差は1より小さくなることはありません。
ですから0.999…は2には収束しませんね。

というか0.999…は、それ自体ひとつの数を表していて収束するという言い方もほんとうはまずいんですけどね。

お礼

回答ありがとうございます。これで、０．９９９・・・＝１を、認めることが出来ました。感謝します。
最後の指摘も、とてもありがたかったです。‘‘数列‘‘が収束するんですよね。最も恐ろしい、「誤解」がなくなってよかったです。